ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

 

ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

Часть 1.

Метрические пространства. Теория и задачи с решениями.

 

 

 

 

Учебно-методическое пособие

 

ВЕЛИКИЙ НОВГОРОД
2007

 

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ……………………………………………………………...........................5

1.МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА…………………...………………….......................6

1.1. Определение метрического пространства и основные неравенства………………….6

1.2. Примеры метрических пространств…………………………………………………….7

1.3. Открытые и замкнутые множества.

Точки прикосновения и предельные точки…………………………………………...10

1.4. Сходимость в метрическом пространстве…………………………………………….13

1.5. Непрерывные отображения в метрических пространствах………………………….15

2. ПОПОЛНЕНИЕ МЕТРИЧЕСКОГО ПРОСТРАНСТВА……………………………...17

2.1. Понятие полного метрического пространства.

Примеры неполных пространств………………………………………………………17

2.2. Пополнение метрического пространства……………………………………………...19

2.3. Теоремы в полных метрических пространствах……………………………………...22

3. КОМПАКТНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА………………………………26

3.1. Определение компактного пространства. Теорема Хаусдорфа……………………..26

3.2. Эквивалентное определение компактного пространства…………………………….30

3.3. Относительная компактность в пространстве

непрерывных функций ………………………………………………………...33

3.4. Относительная компактность в пространствах и ………………………..35

3.5. Свойства непрерывных отображений на компактных пространствах……………...39

4. ПРИЛОЖЕНИЯ…………………………………………………………………………..40

4.1. Приложение 1.Вспомогательные неравенства………………………………………..40

4.2. Приложение 2.Аппроксимационная теорема Вейерштрасса………………………...45

4.3. Приложение 3. Структура открытых множеств на прямой.

Канторово множество…………………………………………………………………..48

5. ЗАДАЧИ…………………………………………………………………………………...51

6. РЕШЕНИЯ………………………………………………………………………………...55

ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………………………….66

 

 

ПРЕДИСЛОВИЕ

Хотя метрические пространства представляют раздел функционального анализа, но со многими понятиями и утверждениями студенты разных специальностей знакомятся уже на первом курсе при изучении математического анализа. Более полно метрические пространства изучаются на старших курсах математических и физических специальностей, в курсе функционального анализа или в специальных курсах.

Метрические пространства изложены в учебниках и монографиях по функциональному анализу. Однако изложение, как правило, проводится весьма лаконично и трудно доступно для самостоятельного изучения.

В данном пособии метрические пространства излагаются примерно так же подробно, как излагается курс математического анализа. Наряду с теорией в пособии приведены задачи с решениями. По замыслу, теория и задачи с решениями должны представить в определенной полноте методы и приемы, характерные для метрических пространств. Мы рекомендуем студентам вначале самостоятельно решить задачу, лишь затем сравнить свое решение с решением, которое приводится в пособии.

Пособие предназначено как студентам, так и аспирантам и научным работникам, желающим основательно проработать метрические пространства. Во время работы над пособием, я обсуждал некоторые вопросы с Пановым Евгением Юрьевичем и искренне ему благодарен. Также считаю своим приятным долгом поблагодарить Анатолия Юльевича Захарова за помощь в работе и за предоставление редкой литературы по функциональному анализу в неограниченное пользование.