Сходимость в метрическом пространстве

Определение 10. Точка метрического пространства называется пределом последовательности точек , если , т.е. для любого положительного числа найдется номер такой, что при всех верно неравенство .

Записываем предел в виде или кратко .

Используя понятие шара, дадим следующую характеристику предела: для того, чтобы необходимо и достаточно, чтобы для любого шара с центром в точке и радиуса существовало такое , что при .

Предложение 8. Последовательность точек может иметь только один предел.

Доказательство. Пусть и . Применяя аксиому треугольника, получим . Правая часть этого неравенства стремится к нулю, а левая неотрицательна. Следовательно , а тогда . Предложение доказано.

Предложение 9. Точка метрического пространства принадлежит замыканию множества тогда и только тогда, когда существует последовательность точек множества , сходящаяся к .

Доказательство. Пусть . Если при этом , то в качестве последовательности можно взять . Далее полагаем, что . Тогда точка является предельной точкой множества , ему не принадлежащей. Поэтому в каждом шаре , т.е. при любом , имеется хотя бы одна точка . В результате построили последовательность точек из множества , сходящаяся к точке .

Верно и обратное: если , , то . Действительно, если , то точка принадлежит открытому множеству . Поэтому найдется открытый шар с центром в точке , целиком лежащий во множестве , т.е. не имеющий общих точек с множеством . А это противоречит тому, что последовательность точек из множества сходится к . Предложение доказано.

Предложение 10. Расстояние является непрерывной функцией от и .

Доказательство. Непрерывность означает, что если и , то . Для доказательства воспользуемся неравенством (1.1). Из нее следует, что

.

Предложение доказано.

Предложение 11. В метрическом пространстве всякий замкнутый шар является замкнутым множеством.

Доказательство. Пусть - произвольная предельная точка множества . В силу предложения 9, существует последовательность такая, что , при . Поскольку , , то, пользуясь непрерывностью расстояния и переходя к пределу в последнем неравенстве, получим неравенство . Отсюда вытекает, что , т.е. этот шар содержит все свои предельные точки и поэтому является замкнутым множеством. Предложение доказано.