Точки прикосновения и предельные точки

Определение 2. Открытым шаром в метрическом пространстве с центром в точке и радиуса называется множество всех таких точек , что .

Замкнутым шаром называется множество всех таких точек , что .

Определение 3. Множество называется открытым в метрическом пространстве , если для любого найдется такое число , что верно включение .

Определение 4. Окрестностью точки называется любое открытое множество, содержащее .

Предложение 2. Открытый шар является открытым множеством.

Доказательство. Покажем, что открытый шар вместе с каждой точкой содержит шар , где В самом деле, если , то

,

т.е. . Отсюда следует доказательство предложения.

Открытый шар является окрестностью каждой своей точки.

Предложение 3. Объединение любого числа открытых множеств открыто. Пересечение любого конечного числа открытых множеств есть открытое множество.

Доказательство. Пусть семейство открытых в множеств. Если , то существует такое , что . Тогда найдется шар , содержащийся в : . Тем более и поэтому - открытое множество.

Теперь пусть имеется конечное число открытых множеств . Если , то для любого верно включение . Отсюда для любого найдется шар , содержащийся во множестве . Взяв , получим, что для любого справедливо включение и поэтому . Это и означает, что пересечение - открытое множество. Предложение полностью доказано.

Определение 5. Множество в метрическом пространстве называется замкнутым, если его дополнение открыто.

Предложение 4. Пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто. Объединение конечного числа замкнутых множеств замкнуто.

Доказательство. По принципу двойственности дополнение объединения множеств равно пересечению дополнений этих множеств

, (1.11)

а дополнение пересечения множеств равно объединению дополнений этих множеств

(1.12)

Доказательство соотношений (1.11) и (1.12) приводится в теории множеств [1], поэтому здесь мы его не приводим. Возьмем любое число замкнутых множество . Дополнение является открытым. Согласно предложения 3, объединение также будет открытым. Тогда открытым будет и левая часть (1.12). Отсюда следует, что пересечение любого числа замкнутых множеств замкнуто.

Аналогично доказывается вторая часть предложения.

Определение 6. Точка называется точкой прикосновения множества , если каждая окрестность точки содержит хотя бы одну точку множества .

Определение 7. Точка называется предельной точкой множества , если каждая окрестность точки содержит хотя бы одну точку множества , отличную от точки .

Предложение 5. Множество является замкнутым тогда и только тогда, когда оно содержит все свои токи прикосновения.

Доказательство. Пусть замкнутое множество и его точка прикосновения. Покажем, что . Пусть , тогда . Множество является открытым, поэтому найдется окрестность точки , целиком входящая во множество . Поэтому найденная окрестность точки не будет иметь общих точек с множеством , а это противоречит тому, что его точка прикосновения. Полученное противоречие доказывает первую часть предложения.

Теперь полагаем, что множество содержит все свои точки прикосновения; докажем, что оно замкнуто или, что дополнение открыто.

Возьмем произвольную точку из множества . По условию не является точкой прикосновения множества . Поэтому найдется окрестность точки , в которой нет точек из множества . Эта окрестность целиком лежит во множестве . Так как произвольная точка множества , то оно открыто. Предложение полностью

доказано.

Совершенно аналогично доказывается предложение.

Предложение 6. Множество является замкнутым тогда и только тогда, когда оно содержит все свои предельные точки.

Определение 8. Множество всех точек прикосновения множества называется замыканием множества и обозначается символом .

Предложение 7. Имеет место соотношение .

Доказательство. Надо доказать, что . Пусть . Возьмем произвольную окрестность точки . Пересечение ; пусть . Так как , а является окрестностью точки , то . Поскольку - произвольная окрестность точки , то получаем, что . Предложение доказано.

Отсюда с учетом предложения 5 имеем.

Следствие. Множество замкнуто.

Дадим еще одно важное определение.

Определение 9. Точка , принадлежащая ,называется изолированной точкой этого множества, если в некоторой ее окрестности нет точек из , отличных от .

Всякая точка прикосновения множества , как следует из определений, является либо предельной точкой для него, либо изолированной точкой этого множества. Отсюда следует, что замыкание множества состоит из точек трех типов:

1) изолированные точки ;

2) предельные точки множества , принадлежащие ;

3) предельные точки множества , не принадлежащие .

Следовательно, замыкание множества получается присоединением к всех его предельных точек.