Непрерывные отображения в метрических пространствах

Пусть и - два метрических пространства и - некоторое отображение в , которое каждому элементу ставит в соответствие некоторый элемент .

Определение 11. Отображение называется непрерывным в точке , если

. (1.13)

Если отображение непрерывно в каждой точке пространства , то его называют непрерывным на . Справедлива теорема.

Теорема 1. Отображение непрерывно в точке тогда и только тогда, когда для любой последовательности , сходящейся к , последовательность сходится к .

Доказательство. Пусть непрерывно в точке и . По найдем такое , чтобы из неравенства следовало . А для найдем число такое, при выполнено . Тогда и, следовательно, .

Докажем обратное. Пусть для любой последовательности имеем , но отображение не является непрерывным. Построим в символьной форме отрицание (1.13)

. (1.14)

На основе (1.14) выберем так, что , но . Тогда , но не сходится к . Полученное противоречие и доказывает вторую часть теоремы.

Определение 12. Взаимно однозначное отображение пространства на все пространство , для которого обратное отображение также непрерывно, называется гомеоморфным отображением или гомеоморфизмом. При этом соответствующие пространства и называются гомеоморфными.

Примером гомеоморфизма является функция , отображающая прямую на интервал .

Определение 13. Отображение называется равномерно непрерывным, если

. (1.15)

Каждое равномерно непрерывное отображение непрерывно, но обратное неверно. Как доказывается в курсе математического анализа, на действительной прямой функция не является равномерно непрерывной.

Определение 14. Отображение , действующее в метрическом пространстве удовлетворяет условию Гельдера порядка , , если существует такая постоянная , что при всех выполнено неравенство

.

При говорят, что удовлетворяет условию Липшица.

Функция, удовлетворяющая условию Гельдера порядка равномерно непрерывна, но обратное неверно, как показывает следующий пример:

Приведем еще одно определение, которое играет очень важную роль в теории метрических пространств.

Определение 15. Отображение метрического пространства в метрическое пространство называется изометрическим (изометрией), если для любых выполнено равенство

. (1.16)

Изометрическое отображение пространства на все пространство называется изометрическим изоморфизмом, a пространства и называются изометричными.

С точки зрения теории метрических пространств изометричные пространства считаются одинаковыми.

Приведем пример такого отображения. Прямая с метрикой

изометрична интервалу с обычной метрикой. Изометрия задается отображением