Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Теоремы в полных метрических пространствах




Теорема 3. Для того, чтобы метрическое пространство было полным, необходимо и достаточно, чтобы в нем всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение.

Необходимость. Пусть пространство полно и

последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров.

Последовательность центров фундаментальна, поскольку

, .

Это неравенство следует из того, что шары вложены друг в друга. Кроме того, при . Так как пространство полно, то существует предел . Нам остается доказать, что . В самом деле, шар содержит все точки последовательности за исключением, быть может, конечного числа. Отсюда следует, что является точкой прикосновения для замкнутого шара и при всех .

Достаточность. Нужно доказать, что всякая фундаментальная последовательность имеет предел. В силу фундаментальности, найдется такой номер , что

, .

Примем за центр замкнутого шара радиуса 1: . Затем найдем так, чтобы и

, .

Примем за центр замкнутого шара радиуса : . После того, как выбраны , найдем так, чтобы

, .

И примем за центр замкнутого шара радиуса : . Продолжая это построение, получим последовательность замкнутых шаров радиуса . Кроме того, они вложены друг в друга: . Действительно, если , то

, (2.3)

т.е. . По условию теоремы последовательность шаров имеет общую точку .

Подпоследовательности , как следует из (2.3), сходится к . Но тогда и вся последовательность сходится к точке , как следует из предложения 3.

Теорема доказана.

Определение 6. Множество называется нигде не плотным в метрическом пространстве , если любой открытый шар этого пространства содержит другой открытый шар, целиком свободный от точек множества .

По этому определению во всяком шаре найдется другой шар , в котором нет точек из множества . Тогда точка не является точкой прикосновения множества и поэтому не принадлежит замыканию . Получили, что произвольный шар не содержится целиком в . Верно обратное утверждение. Если произвольный шар не содержится в , то пересечение не пусто и открыто. Поэтому найдется открытый шар , в котором нет точек из множества и тем более из множества .

Таким образом, доказали, что определение 6 эквивалентно следующему определению.

Определение 6 (эквивалентное определение). Множество называется нигде не плотным в метрическом пространстве , если его замыкание не содержит ни одного открытого шара.

Определение 7. Множество называется множеством первой категории, если его можно представить в виде объединения не более, чем счетного числа нигде не плотных в множеств.

Определение 8. Множество, на являющееся множеством первой категории, называется множеством второй категории.

Теорема 4 (Бэр). Полное метрическое пространство есть множество второй категории.

Доказательство. Предположим противное: , где множества нигде не плотны. Возьмем шар с центром в произвольной точке и радиуса 1. Поскольку множество нигде не плотно, то внутри шара найдется шар радиуса , не содержащий точек множества . Точно так же, внутри шара найдется шар радиуса , не содержащий точек множества , и т.д.

В результате получим последовательность вложенных замкнутых шаров , радиусы которых стремятся к нулю. При этом шар не содержит точек множеств . По теореме 3, существует точка , принадлежащая всем шарам. Эта точка по построению не принадлежит ни одному из множеств , следовательно, , т.е. . Мы получили противоречие, которое и доказывает теорему.

Определение 9. Отображение метрического пространства в себя называется сжимающим, если существует такое число , что для любых двух точек выполняется неравенство

. (2.4)

Всякое сжимающее отображение непрерывно.

Теорема 5 (принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение полного метрического пространства в себя имеет одну и только одну неподвижную точку, т.е. уравнение имеет единственное решение .

Доказательство. Возьмем произвольный элемент и положим

, ,…, ,… .

Покажем, что построенная последовательность является фундаментальной. Имеем

,

,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

,

. . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . .. ..

Далее, применяя неравенство треугольника, получим

.

Так как, по условию , то

,

откуда следует, что , при , .

Следовательно, последовательность фундаментальна и в силу полноты пространства сходится. Пусть .

Докажем, что . В силу непрерывности отображения

.

Итак, существование неподвижной точки доказано. Докажем ее единственность. Если

, ,

то неравенство (2.4) принимает вид

;

так как , отсюда следует, что

, т.е. .

Теорема полностью доказана.







Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 312. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2019 год . (0.006 сек.) русская версия | украинская версия