Теорема 3. Для того, чтобы метрическое пространство
было полным, необходимо и достаточно, чтобы в нем всякая последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров, радиусы которых стремятся к нулю, имела непустое пересечение.
Необходимость. Пусть пространство
полно и

последовательность вложенных друг в друга замкнутых шаров.
Последовательность центров
фундаментальна, поскольку
,
.
Это неравенство следует из того, что шары вложены друг в друга. Кроме того,
при
. Так как пространство
полно, то существует предел
. Нам остается доказать, что
. В самом деле, шар
содержит все точки последовательности
за исключением, быть может, конечного числа. Отсюда следует, что
является точкой прикосновения для замкнутого шара
и
при всех
.
Достаточность. Нужно доказать, что всякая фундаментальная последовательность
имеет предел. В силу фундаментальности, найдется такой номер
, что
,
.
Примем
за центр замкнутого шара радиуса 1:
. Затем найдем
так, чтобы
и
,
.
Примем
за центр замкнутого шара радиуса
:
. После того, как выбраны
, найдем
так, чтобы
,
.
И примем
за центр замкнутого шара радиуса
:
. Продолжая это построение, получим последовательность замкнутых шаров
радиуса
. Кроме того, они вложены друг в друга:
. Действительно, если
, то
, (2.3)
т.е.
. По условию теоремы последовательность шаров имеет общую точку
.
Подпоследовательности
, как следует из (2.3), сходится к
. Но тогда и вся последовательность
сходится к точке
, как следует из предложения 3.
Теорема доказана.
Определение 6. Множество
называется нигде не плотным в метрическом пространстве
, если любой открытый шар этого пространства содержит другой открытый шар, целиком свободный от точек множества
.
По этому определению во всяком шаре
найдется другой шар
, в котором нет точек из множества
. Тогда точка
не является точкой прикосновения множества
и поэтому не принадлежит замыканию
. Получили, что произвольный шар
не содержится целиком в
. Верно обратное утверждение. Если произвольный шар
не содержится в
, то пересечение
не пусто и открыто. Поэтому найдется открытый шар
, в котором нет точек из множества
и тем более из множества
.
Таким образом, доказали, что определение 6 эквивалентно следующему определению.
Определение 6 (эквивалентное определение). Множество
называется нигде не плотным в метрическом пространстве
, если его замыкание
не содержит ни одного открытого шара.
Определение 7. Множество
называется множеством первой категории, если его можно представить в виде объединения не более, чем счетного числа нигде не плотных в
множеств.
Определение 8. Множество, на являющееся множеством первой категории, называется множеством второй категории.
Теорема 4 (Бэр). Полное метрическое пространство есть множество второй категории.
Доказательство. Предположим противное:
, где множества
нигде не плотны. Возьмем шар
с центром в произвольной точке
и радиуса 1. Поскольку множество
нигде не плотно, то внутри шара
найдется шар
радиуса
, не содержащий точек множества
. Точно так же, внутри шара
найдется шар
радиуса
, не содержащий точек множества
, и т.д.
В результате получим последовательность вложенных замкнутых шаров
, радиусы которых стремятся к нулю. При этом шар
не содержит точек множеств
. По теореме 3, существует точка
, принадлежащая всем шарам. Эта точка по построению не принадлежит ни одному из множеств
, следовательно,
, т.е.
. Мы получили противоречие, которое и доказывает теорему.
Определение 9. Отображение
метрического пространства
в себя называется сжимающим, если существует такое число
, что для любых двух точек
выполняется неравенство
. (2.4)
Всякое сжимающее отображение непрерывно.
Теорема 5 (принцип сжимающих отображений). Всякое сжимающее отображение полного метрического пространства
в себя имеет одну и только одну неподвижную точку, т.е. уравнение
имеет единственное решение
.
Доказательство. Возьмем произвольный элемент
и положим
,
,…,
,….
Покажем, что построенная последовательность
является фундаментальной. Имеем
,
,
.........................................
,
...........................................
Далее, применяя неравенство треугольника, получим

.
Так как, по условию
, то
,
откуда следует, что
, при
,
.
Следовательно, последовательность
фундаментальна и в силу полноты пространства
сходится. Пусть
.
Докажем, что
. В силу непрерывности отображения 
.
Итак, существование неподвижной точки доказано. Докажем ее единственность. Если
,
,
то неравенство (2.4) принимает вид
;
так как
, отсюда следует, что
, т.е.
.
Теорема полностью доказана.