Определение 12. Множество в метрическом пространстве называется равномерно ограниченным, если найдется постоянная такая, что для всех и .

Это равносильно тому, что множество ограничено в метрическом пространстве .

Определение 13. Множество в метрическом пространстве называется равностепенно непрерывным, если для любого существует такое такое, что для любых ,для которых и любой функции выполнено

.

Теорема 3 (Арцела-Асколи). Для того, чтобы множество было относительно компактным необходимо и достаточно, чтобы оно было равномерно ограничено и равностепенно непрерывно.

Доказательство. Необходимость. Пусть множество относительно компактно, тогда оно ограничено в пространстве , т.е. равномерно ограничено. Нужно проверить равностепенную непрерывность. Зададим и построим конечную - сеть . Функции , равномерно непрерывны на отрезке . Поэтому для каждой функции найдется так, чтобы при для любых выполнялось неравенство

, .

Положим . Тогда для любых , удовлетворяющих неравенству , и всех будем иметь неравенство

.

При выводе последнего неравенства мы учли то, что является - сеть для множества . Следовательно, доказали равностепенную непрерывность.

Достаточность. Дано ограниченное и равностепенно непрерывное семейство . Необходимо доказать вполне ограниченность . Из ограниченности следует неравенство

, , .

Зададим и, используя равностепенную непрерывность, найдем так, чтобы

при для всех . Затем построим сетку: разобьем отрезок точками на интервалы длины меньше , а отрезок - точками на интервалы длины меньше . Пусть - семейство непрерывных функций, принимающих в точках значения и линейных на отрезках . Это семейство конечно.

Докажем, что семейство является - сетью для множества . По функции выберем функцию так, чтобы выполнялось неравенство

. .

Отсюда получим

.

Так как на отрезке функция линейна, то

, .

Наконец, возьмем произвольную точку из отрезка . Тогда найдется такое, что . Отсюда

.

Из полученного неравенства следует, что семейство является - сетью для множества . Теорема доказана.

 

3.4. Относительная компактность в пространствах и

Теорема 4. Множество в метрическом пространстве , , относительно компактно тогда и только тогда, когда выполнены условия:

1) существует такое число , что для любых ;

2) для любого существует номер такой, что для всех выполнено неравенство .

Необходимость. Условие 1) означает ограниченность множества в метрическом

пространстве . Оно следует из относительной компактности. Докажем необходимость второго условия. Обозначим

, .

Тогда и имеет место соотношение

.

Очевидно, что , при . Далее, справедливо неравенство

, .

Возьмем и построим - сеть для множества : . Тогда для любого найдется такая, что . Применяя неравенство треугольника, найдем

.

Поскольку при , то найдется число такое, что при и всех . Тогда для всех .

Достаточность. Для произвольного выберем так, чтобы

,

и зафиксируем . Каждому поставим в соответствие . Очевидно, что . Кроме того, можно показать, что множество является компактным. Следовательно, построена компактная - сеть для и по следствию к теореме Хаусдорфа, множество относительно компактно. Теорема доказана.

Второй способ доказательства достаточности. Выше мы построили компактную - сеть для , а теперь построим конечную - сеть для . Выберем так, чтобы

, .

Возьмем , и рассмотрим конечное множество :

.

Докажем, что множество образует - сеть для . Для выберем , где - целая часть числа . Тогда

.

По теореме Хаусдорфа множество относительно компактно. Теорема доказана.

В заключение приведем без доказательства критерий относительной компактности в пространстве .

Теорема 5 (М.Рисс). Множество , , является относительно компактным тогда и только тогда, когда выполнены условия:

1) существует постоянная такая, что

, ;

2) для любого существует такое, что при

, .

Доказательство. Пусть - относительно компактное множество в . Относительно компактное множество ограничено, поэтому 1) выполнено. Возьмем и построим конечную -сеть для множества . Поскольку каждая функция из непрерывна в среднем [4], то существует такое , что при верно неравенство , . Возьмем произвольную функцию и найдем такую функцию из - сети, чтобы . Тогда, если , то из неравенства треугольника получим

.

При этом выводе мы воспользовались тем, что функции и равны нулю вне отрезка . Тем самым проверено второе условие и необходимость доказана.

Достаточность. Вначале выведем вспомогательные неравенства для функций Стеклова . Имеем

,

и

Из условий теоремы 1) и 2) и этих неравенств следует, что при фиксированном функции семейства , когда равномерно ограничены и равностепенно непрерывны: и при . По теореме Арцела – Асколи любая последовательность этого семейства имеет равномерно сходящуюся подпоследовательность. Эта подпоследовательность также сходится в , т. е. семейство относительно компактно в .

С другой стороны

.

Отсюда

.

При этом мы воспользовались вторым условием теоремы, поскольку .

Таким образом, относительно компактное семейство образует -сеть для множества и по следствию к теореме Хаусдорфа относительно компактно и само множество . Теорема доказана.