На компактных пространствах

Предложение 6. Образ компактного множества при непрерывном отображении компактен.

Доказательство. Пусть - непрерывное отображение и - компактное множество в . Возьмем произвольную последовательность . Тогда существует последовательность такая, что , .

Последовательности имеет сходящуюся подпоследовательность: , причем . Тогда в силу непрерывности . Предложение доказано.

Предложение 7. Образ компактного множества при непрерывном отображении ограничен и замкнут.

Доказательство следует из предложения 6 и того, что компактное множество в метрическом пространстве ограничено и замкнуто. Предложение доказано.

Предложение 8. Пусть отображает компактное метрическое пространство на числовую прямую . Тогда отображение ограничено и достигает своей точной верхней и точной нижней грани.

Доказательство. Числовое множество , согласно предложения 6, ограничено и замкнуто. А из замкнутости следует, что точная верхняя и точная нижняя грани принадлежат множеству значений. Предложение доказано.

Предложение 9. Любое непрерывное отображение компактного метрического пространства в метрическое пространство является равномерно непрерывным.

Доказательство. Предположим, что не является равномерно непрерывным, т.е. не выполняется (1.15). Построим в символической форме отрицание:

.

Используя это отрицание, для каждого выберем такие и , что

, . (3.4)

Из последовательности выберем сходящуюся подпоследовательность .

Тогда , т.е. .

Но отображение непрерывно, поэтому , и, следовательно, , что противоречит неравенству (3.4). Полученное противоречие и доказывает предложение.

4. ПРИЛОЖЕНИЯ