На компактных пространствах
Предложение 6. Образ компактного множества при непрерывном отображении компактен. Доказательство. Пусть Последовательности Предложение 7. Образ компактного множества при непрерывном отображении ограничен и замкнут. Доказательство следует из предложения 6 и того, что компактное множество в метрическом пространстве ограничено и замкнуто. Предложение доказано. Предложение 8. Пусть Доказательство. Числовое множество Предложение 9. Любое непрерывное отображение Доказательство. Предположим, что
Используя это отрицание, для каждого
Из последовательности Тогда Но отображение
4. ПРИЛОЖЕНИЯ
|
- непрерывное отображение и 
- компактное множество в 
. Возьмем произвольную последовательность 
. Тогда существует последовательность 
такая, что 
, 
.
имеет сходящуюся подпоследовательность: 
, причем 
. Тогда в силу непрерывности 
. Предложение доказано.
отображает компактное метрическое пространство 
. Тогда отображение 
, согласно предложения 6, ограничено и замкнуто. А из замкнутости 
является равномерно непрерывным.
.
выберем такие 
и 
, что
, 
. (3.4)
выберем сходящуюся подпоследовательность 
, т.е. 
.
, 
и, следовательно, 
, что противоречит неравенству (3.4). Полученное противоречие и доказывает предложение.
