Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

На компактных пространствах




Предложение 6. Образ компактного множества при непрерывном отображении компактен.

Доказательство. Пусть - непрерывное отображение и - компактное множество в . Возьмем произвольную последовательность . Тогда существует последовательность такая, что , .

Последовательности имеет сходящуюся подпоследовательность: , причем . Тогда в силу непрерывности . Предложение доказано.

Предложение 7. Образ компактного множества при непрерывном отображении ограничен и замкнут.

Доказательство следует из предложения 6 и того, что компактное множество в метрическом пространстве ограничено и замкнуто. Предложение доказано.

Предложение 8. Пусть отображает компактное метрическое пространство на числовую прямую . Тогда отображение ограничено и достигает своей точной верхней и точной нижней грани.

Доказательство. Числовое множество , согласно предложения 6, ограничено и замкнуто. А из замкнутости следует, что точная верхняя и точная нижняя грани принадлежат множеству значений. Предложение доказано.

Предложение 9. Любое непрерывное отображение компактного метрического пространства в метрическое пространство является равномерно непрерывным.

Доказательство. Предположим, что не является равномерно непрерывным, т.е. не выполняется (1.15). Построим в символической форме отрицание :

.

Используя это отрицание, для каждого выберем такие и , что

, . (3.4)

Из последовательности выберем сходящуюся подпоследовательность .

Тогда , т.е. .

Но отображение непрерывно, поэтому , и, следовательно, , что противоречит неравенству (3.4). Полученное противоречие и доказывает предложение.

 

4. ПРИЛОЖЕНИЯ

 







Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 282. Нарушение авторских прав


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2019 год . (0.001 сек.) русская версия | украинская версия