Аппроксимационная теорема Вейерштрасса

Предложение 2. При всех справедливо соотношение

. (4.23)

Это соотношение непосредственно получается из бинома Ньютона.

Предложение 3. При всех вещественных имеет место неравенство

. (4.24) Доказательство. Продифференцируем по тождество

(4.25)

и результат умножим на :

. (4.26)

Дифференцируя (4.26) и умножая на , получим

. (4.27) Положим в (4.25), (4.26) и (4.27) и умножим полученные тождества на

. В результате придем к соотношениям

, (4.28)

, (4.29)

. (4.30)

Наконец, умножим (4.28) на , (4.29) на и (4.30) на 1 и все сложим:

.

Отсюда непосредственно получается доказательство утверждения.

Определение 1. Для функции , заданной на промежутке многочлен

(4.31)

называется многочленом Бернштейна.

Теорема 1 (Бернштейн). Если , то последовательность сходится к функции в пространстве , т.е. равномерно на отрезке .

Доказательство. Пусть . Вследствие равномерной непрерывности на отрезке для любого найдется такой , что если , то .

Далее из (4.23) следует, что

.

Вычитая из этого равенства (4.30), получим

. (4.32) Разобьем все числа на два множества и :

, .

Если , то , и на основании утверждения 1 имеем

. (4.33)

Если же , то и, используя утверждение 2, получим

. (4.34)

Суммируя (4.33) и (4.34), а также учитывая (4.32), найдем

, .

Отсюда при имеем , Теорема доказана.

Теорема 2 (Вейерштрасса). Пусть . Для любого существует такой многочлен , что при всех

.

Доказательство. Рассмотрим функцию . Она определена и непрерывна на отрезке . По теореме Бернштейна найдется такой многочлен , что при всех

.

Если , то и, следовательно, справедливо неравенство

.

Поэтому многочлен и является требуемым. Теорема доказана.

 

 

4.3. Приложение 3

Структура открытых множеств на прямой.

Канторово множество.

 

Здесь мы рассматриваем множества на прямой с обычной евклидовой метрикой.

Предложение 3. В ограниченном сверху замкнутом множестве есть самая правая точка.

Доказательство. Положим . Докажем, что всегда . По определению точней верхней грани для любого найдется точка такая, что . Отсюда следует, что точка является точкой прикосновения для множества и поскольку множество замкнуто, то оно содержит свои точки прикосновения. Также по определению верхней грани точка является правой точкой множества . Предложение доказано.

Аналогично всякое ограниченное снизу и замкнутое множество имеет левую точку.

Определение 1. Пусть - открытое множество. Если интервал содержится во множестве , а его концы не принадлежат множеству , то этот интервал называется составляющим интервалом множества .

Предложение 4. Если - непустое ограниченное открытое множество, то каждая его точка принадлежит некоторому составляющему интервалу.

Доказательство. Для каждой точки построим составляющий интервал. Положим . Это множество замкнуто и ограничено снизу, а потому имеет левую точку, которую обозначим через . Очевидно, . Но и, поэтому, . Отсюда следует, что .

Докажем, что и . Последнее утверждение следует из того, что . Далее, если и , то , а это противоречит тому, что точка - левая точка множества .

Аналогично доказывается существование такой точки , что и .

В результате получаем, что есть составляющим интервалом множества , содержащий точку . Предложение доказано.

Предложение 5. Любые два составляющих интервала множества или тождественны или не пересекаются.

Доказательство. Пусть два составляющих интервала и имеют общую точку : , . Предположим, что . Тогда, очевидно, , но это невозможно, поскольку, и . Значит .

Но так как и равноправны, то по тем же соображениям , а тогда . Аналогично доказывается, что . Предложение доказано.

Предложение 6. Множество составляющих интервалов непустого ограниченного открытого множества не более, чем счетно.

Доказательство. Если каждому составляющему интервалу поставить в соответствие рациональную точку из этого интервала, то получим взаимно однозначное соответствие между составляющими интервалами и подмножеством рациональных чисел. Предложение доказано.

Объединяя последние три предложения, получим теорему.

Теорема 3. Каждое непустое ограниченное открытое множество представимо в виде объединения конечного или счетного числа не пересекающихся составляющих интервалов

, , . (4.35)

Очевидно также, что всякое множество, представимое в виде объединения интервалов является открытым.

Согласно этой теореме всякое непустое ограниченное замкнутое множество или является отрезком или же получается из отрезка удалением конечного или счетного числа взаимно не налегающих интервалов, концы которых принадлежат множеству .

В качестве примера подобного построения рассмотрим к анторово множество.

На первом шаге нашего построения разделим отрезок на три равные части, удалим интервал и оставшееся множество – объединение двух отрезков и - обозначим через . Из этих двух отрезков в свою очередь удалим их трети: интервалы , . И объединение оставшихся отрезков обозначим через . Продолжая этот процесс, получим убывающую последовательность замкнутых множеств, причем множество является объединением отрезков, длина каждого из которых равна .

Множество

и называется канторовым множеством. Канторово множество замкнуто, как пересечение замкнутых множеств.

Канторово множество допускает эффективное описание с помощью троичных дробей. Каждое число можно записать в виде троичной дроби

,

где числа могут принимать значения 0, 1 и 2. Числа из интервала , выброшенные на первом шаге построения канторова множества, характеризуются тем, что в их троичном разложении . Концы же этого интервала допускают каждый по два представления

, .

Условимся для точек канторова множества использовать такие разложения

, в которых число 1 не встречается.

В результате получим взаимно однозначное соответствие между точками из канторова множества и последовательностями из цифр 0 и 2. Из такого соответствия, в частности, следует, что канторово множество имеет мощность континуума.

 

 

ЗАДАЧИ

1. Доказать, что аксиомы метрического пространства эквивалентны двум аксиомам:

1) (аксиома тождества);

2) для любых трех элементов , и

(аксиома треугольника).

2. Доказать, что для любых точек метрического пространства справедливо неравенство

.

3. Является ли множество натуральных чисел метрическим пространством, если для любых метрика вводится одним из соотношений:

;

;

;

4. Докажите, что если - метрика на множестве , то функция

также является метрикой на .

5. Будет ли метрическим пространством вещественная прямая с метрикой

,

где -непрерывная и строго монотонная функция.

6. Доказать, что если - предельная точка множества , то в любой окрестности точки имеется бесконечное множество точек множества .

7. Доказать, что если , то .

8. Доказать, что .

9. Доказать, что в произвольном метрическом пространстве замыкание открытого шара лежит в соответствующем замкнутом шаре: .

10. Привести пример метрического пространства, в котором .

11. Привести пример метрического пространства, в котором шар большего радиуса содержится в шаре меньшего радиуса.

12. Привести пример непустых и непересекающихся замкнутых множеств и

, расстояние между которыми равно нулю: .

13. Доказать, что сходимость последовательности элементов пространства

к точке означает равномерную сходимость последовательности функций к функции .

14. Доказать, что множество всех непрерывных на отрезке функций, удовлетворяющих неравенствам , является открытым множеством.

15. Пусть - полное метрическое пространство и . Тогда справедливы утверждения:

если множество замкнуто, то оно полно;

еслимножество полно, то оно замкнуто;

16. Доказать, что прямая с метрикой не является полной. Построить пополнение этого метрического пространства.

17. На множестве натуральных чисел введена метрика по формуле

Доказать справедливость аксиом метрического пространства,

описать замкнутые шары ,

доказать, что пересечение шаров пусто: ,

доказать полноту метрического пространства.

18. Докажите полноту метрического пространства .

19. Докажите, что последовательность сходится в пространстве .

20. Докажите, что последовательность не сходится в пространстве .

21. Доказать, что множество непрерывных на отрезке функций с метрикой

не является полным метрическим пространством.

22. Доказать, что пространство всех определенных на отрезке многочленов с метрикой

не является полным.

23. В метрическом пространстве задана последовательность вида

,

где ненулевых элементов ровно . Доказать, что последовательность не сходится.

24. Рассмотрим пространство финитных последовательностей и для двух элементов

, ,

где , определим метрику по формуле

.

Найти пополнение метрического пространства .

25. Докажите, что в полном метрическом пространстве замыкание относительно компактного множества является компактом.

26. Докажите, что единичный замкнутый в пространстве не является компактом.

27. Докажите относительную компактность основного параллелепипеда в пространстве , представляющего собой множество точек , координаты которых удовлетворяют условиям , .

28. Докажите относительную компактность в пространстве множества точек , координаты которых удовлетворяют условиям , , причем сходится ряд .

29. Пусть множество состоит из функций, удовлетворяющих неравенству . Доказать, что множество не является относительно компактным.

30. Пусть множество состоит из непрерывно дифференцируемых функций, удовлетворяющих условиям

, .

Доказать, что множество относительно компактно.

31. Пусть - полное метрическое пространство, - последовательность открытых всюду плотных множеств . Докажите, что пересечение является всюду плотным множеством.

32. Пусть - фиксированное натуральное число и - множество, составленное из финитных последовательностей. Доказать, что множество нигде не плотно в пространстве .

33. Докажите, что каждая точка канторова множества является его предельной точкой.

34. Докажите, что канторово множество нигде не плотно на отрезке .

35. Доказать, что пространство всех ограниченных числовых последовательностей с расстоянием

не сепарабельно.

36. Докажите, что дополнение к нигде не плотному множеству всюду плотно. Справедливо ли обратное утверждение?

37. Доказать, что дополнение к открытому всюду плотному множеству нигде не плотно.