Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Вспомогательные неравенства




Предложение 1. Пусть и - вещественные числа, связанные соотношением

, (4.1)

тогда для любых неотрицательных чисел и имеет место неравенство

. (4.2)

Доказательство. Можно полагать, что . Рассмотрим функцию , где , a , и согласно (4.1) . Найдем производную . Анализ производной показывает, что наибольшего значения функция достигает при . Поэтому или

. (4.3)

Полагая в неравенстве (4.3) и учитывая связь , получим

. (4.4)

Умножим это неравенство на

. (4.5)

Наконец, учитывая соотношение , найдем

.

Предложение доказано.

Неравенство Гельдера. Для произвольных чисел и справедливо неравенство Гельдера

. (4.6) Доказательство. Введем обозначения

, , , . (4.7)

Запишем неравенство (4.2)

и просуммируем по . В результате получим

 

. (4.8)

Используя соотношения , и переходя от величин , к величинам , , из (4.8) найдем

. (4.9)

Отсюда следует неравенство Гельдера

. (4.10)

Неравенство доказано.

Неравенство Гельдера для бесконечных сумм. Пусть даны бесконечные последовательности чисел и .

Предположим, что сходятся числовые ряды , . Переходя в неравенстве (4.10) к пределу, когда , получим

. (4.11)

Неравенство Коши-Буняковского получается как частный случай неравенства Гельдера, когда

. (4.12) Интегральное неравенство Гельдера. Имеет место неравенство

. (4.13)

Доказательство. Полагаем, что существуют интегралы, входящие в правую часть (4.13). Введем следующие обозначения

, , , . (4.14)

Применяя неравенство (4.2) к функциям и , получим

.

Проинтегрируем это неравенство и учтем обозначения (4.14). В итоге найдем

.

Отсюда следует

.

Неравенство доказано.

Интегральное неравенство Коши-Буняковского получается как частный случай,

когда

. (4.15)

Неравенство Минковского. Для , произвольных чисел и справедливо неравенство Минковского

. (4.16)

Доказательство. Достаточно ограничиться случаем , , .

Имеем

. (4.17)

При справедливость неравенства (4.16) очевидна. Полагая , введем с тем, чтобы . Далее к каждому слагаемому в правой части (4.17) применим неравенство Гельдера. В результате будем иметь

. (4.18) Заметим, что . Умножая обе части (4.18) на

,

получим

.

С учетом равенства получаем окончательное доказательство неравенства Минковского.

Неравенство Минковского для бесконечных сумм. Пусть даны бесконечные последовательности чисел и .

Предположим, что сходятся числовые ряды , . Переходя в неравенстве (4.16) к пределу, когда , получим неравенство Минковского

. (4.19)

 

Интегральное Неравенство Минковского.. Справедливо неравенство

, (4.20)

где , а и - произвольные функции.

Доказательство. Имеем

. (4.21)

Введем число такое что . Применяя к слагаемым в правой части (4.21) интегральное неравенство Гельдера, получим

. (4.22)

Умножая обе части (4.22) на

и учитывая равенство получим

.

Так как , то имеем полное доказательство неравенства Минковского.

 

4.2. Приложение 2.







Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 1196. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2021 год . (0.006 сек.) русская версия | украинская версия