Примеры неполных пространств

Определение 1. Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной или последовательностью Коши, если для любого найдется номер такой, что при .

Предложение 1. Если последовательность сходится к пределу , то она является фундаментальной или последовательностью Коши.

Доказательство. Пусть . Тогда для любого найдется номер такой, что при . Следовательно, для . Предложение доказано.

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Прежде, чем привести соответствующие примеры, изучим свойство фундаментальных последовательностей.

Определение 2. Подмножество метрического пространства называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре.

Предложение 2. Фундаментальная последовательность ограничена.

Доказательство. Из определения фундаментальной последовательности следует существование такого , что при верно неравенство . Тогда все с содержатся в шаре и, далее, уже все элементы последовательности содержатся в шаре , где

.

Пример 1. Пусть - множество рациональных чисел. Введем расстояние по формуле . В результате станет метрическим пространством: все аксиомы, очевидно, выполняются.

Рассмотрим последовательность . Эта последовательность является фундаментальной. Но она не имеет предела в , так как не является рациональным числом.

Пример 2. На прямой введем расстояние

.

Все аксиомы метрического пространства выполнены. Последовательность является фундаментальной, поскольку

при .

Однако эта последовательность не имеет предела, поскольку для любого имеет место соотношение .

Определение 3. Метрическое пространство называется полным, если каждая фундаментальная последовательность сходится.

Метрические пространства в примерах 1 и 2 не являются полными. Однако произвольное метрическое пространство можно включить некоторым способом в полное метрическое пространство. И доказательству этого положения посвящен следующий параграф. А в заключение этого параграфа приведем предложение, которое часто используется при доказательствах.

Предложение 3. Если фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность , сходящуюся к точке , то .

Доказательство. Так как - последовательность Коши, то для всякого найдется такое, что при . Для имеем

.

Поскольку , то, переходя к пределу в последнем неравенстве к пределу, получаем, что . Это и означает, что . Предложение доказано.