Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Примеры неполных пространств




Определение 1. Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной или последовательностью Коши, если для любого найдется номер такой, что при .

Предложение 1. Если последовательность сходится к пределу , то она является фундаментальной или последовательностью Коши.

Доказательство. Пусть . Тогда для любого найдется номер такой, что при . Следовательно, для . Предложение доказано.

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Прежде, чем привести соответствующие примеры, изучим свойство фундаментальных последовательностей.

Определение 2. Подмножество метрического пространства называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре.

Предложение 2. Фундаментальная последовательность ограничена.

Доказательство. Из определения фундаментальной последовательности следует существование такого , что при верно неравенство . Тогда все с содержатся в шаре и, далее, уже все элементы последовательности содержатся в шаре , где

.

Пример 1. Пусть - множество рациональных чисел. Введем расстояние по формуле . В результате станет метрическим пространством: все аксиомы, очевидно, выполняются.

Рассмотрим последовательность . Эта последовательность является фундаментальной. Но она не имеет предела в , так как не является рациональным числом.

Пример 2. На прямой введем расстояние

.

Все аксиомы метрического пространства выполнены. Последовательность является фундаментальной, поскольку

при .

Однако эта последовательность не имеет предела, поскольку для любого имеет место соотношение .

Определение 3. Метрическое пространство называется полным, если каждая фундаментальная последовательность сходится.

Метрические пространства в примерах 1 и 2 не являются полными. Однако произвольное метрическое пространство можно включить некоторым способом в полное метрическое пространство. И доказательству этого положения посвящен следующий параграф. А в заключение этого параграфа приведем предложение, которое часто используется при доказательствах.

Предложение 3. Если фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность , сходящуюся к точке , то .

Доказательство. Так как - последовательность Коши, то для всякого найдется такое, что при . Для имеем

.

Поскольку , то, переходя к пределу в последнем неравенстве к пределу, получаем, что . Это и означает, что . Предложение доказано.

 







Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 1311. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.002 сек.) русская версия | украинская версия