Студопедия — Примеры неполных пространств
Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Примеры неполных пространств






Определение 1. Последовательность точек метрического пространства называется фундаментальной или последовательностью Коши, если для любого найдется номер такой, что при .

Предложение 1. Если последовательность сходится к пределу , то она является фундаментальной или последовательностью Коши.

Доказательство. Пусть . Тогда для любого найдется номер такой, что при . Следовательно, для . Предложение доказано.

Обратное утверждение, вообще говоря, неверно. Прежде, чем привести соответствующие примеры, изучим свойство фундаментальных последовательностей.

Определение 2. Подмножество метрического пространства называется ограниченным, если оно содержится в некотором шаре.

Предложение 2. Фундаментальная последовательность ограничена.

Доказательство. Из определения фундаментальной последовательности следует существование такого , что при верно неравенство . Тогда все с содержатся в шаре и, далее, уже все элементы последовательности содержатся в шаре , где

.

Пример 1. Пусть - множество рациональных чисел. Введем расстояние по формуле . В результате станет метрическим пространством: все аксиомы, очевидно, выполняются.

Рассмотрим последовательность . Эта последовательность является фундаментальной. Но она не имеет предела в , так как не является рациональным числом.

Пример 2. На прямой введем расстояние

.

Все аксиомы метрического пространства выполнены. Последовательность является фундаментальной, поскольку

при .

Однако эта последовательность не имеет предела, поскольку для любого имеет место соотношение .

Определение 3. Метрическое пространство называется полным, если каждая фундаментальная последовательность сходится.

Метрические пространства в примерах 1 и 2 не являются полными. Однако произвольное метрическое пространство можно включить некоторым способом в полное метрическое пространство. И доказательству этого положения посвящен следующий параграф. А в заключение этого параграфа приведем предложение, которое часто используется при доказательствах.

Предложение 3. Если фундаментальная последовательность содержит подпоследовательность , сходящуюся к точке , то .

Доказательство. Так как - последовательность Коши, то для всякого найдется такое, что при . Для имеем

.

Поскольку , то, переходя к пределу в последнем неравенстве к пределу, получаем, что . Это и означает, что . Предложение доказано.

 







Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 2083. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!



Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...

Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...

Патристика и схоластика как этап в средневековой философии Основной задачей теологии является толкование Священного писания, доказательство существования Бога и формулировка догматов Церкви...

Основные симптомы при заболеваниях органов кровообращения При болезнях органов кровообращения больные могут предъявлять различные жалобы: боли в области сердца и за грудиной, одышка, сердцебиение, перебои в сердце, удушье, отеки, цианоз головная боль, увеличение печени, слабость...

Вопрос 1. Коллективные средства защиты: вентиляция, освещение, защита от шума и вибрации Коллективные средства защиты: вентиляция, освещение, защита от шума и вибрации К коллективным средствам защиты относятся: вентиляция, отопление, освещение, защита от шума и вибрации...

Предпосылки, условия и движущие силы психического развития Предпосылки –это факторы. Факторы психического развития –это ведущие детерминанты развития чел. К ним относят: среду...

Анализ микросреды предприятия Анализ микросреды направлен на анализ состояния тех со­ставляющих внешней среды, с которыми предприятие нахо­дится в непосредственном взаимодействии...

Типы конфликтных личностей (Дж. Скотт) Дж. Г. Скотт опирается на типологию Р. М. Брансом, но дополняет её. Они убеждены в своей абсолютной правоте и хотят, чтобы...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.012 сек.) русская версия | украинская версия