Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Пополнение метрического пространства




Определение 4. Множество называется всюду плотным в множестве , если , т.е. замыкание множества содержит .

Определение 5. Множество называется всюду плотным в метрическом пространстве , если , т.е. замыкание совпадает со всем пространством .

Теорема 1. Всякое метрическое пространство имеет пополнение .

Доказательство. Назовем две фундаментальные последовательности и эквивалентными, если . Если , то

,

и потому . Таким образом, если одна из эквивалентных последовательностей сходится, то и другая сходится к той же точке.

А теперь разобьем множество всех фундаментальных последовательностей на классы, отнеся в один класс все эквивалентные между собой последовательности. Обозначим через множество таких классов. Как следует из аксиомы треугольника две последовательности, эквивалентные третьей, эквивалентны между собой. Одна и та же последовательность не может принадлежать разным классам.

Пусть и два класса из множества . Выберем в классе фундаментальную последовательность , а в классе - . Из неравенства (1.1) получаем

.

Это означает, что числовая последовательность сходится. Полагая

, (2.1)

мы определим расстояние во множестве . Покажем, что это расстояние не зависит от выбора представителей классов. Если последовательность эквивалентна , а эквивалентна , то переходя к пределу в неравенстве

получим

. (2.2)

Теперь нужно проверить, что расстояние, определенное формулой (2.1) удовлетворяет аксиомам метрического пространства. Первые две аксиомы проверяются без труда. Остановимся на аксиоме треугольника. Пусть , и - последовательности, принадлежащие соответственно классам , и . Имеем

.

Переходя в этом неравенстве к пределу, получим аксиому треугольника. Следовательно, построено некоторое метрическое пространство .

Теперь построим изометрию метрического пространства на подмножество метрического пространства : .

Каждому элементу поставим в соответствие класс последовательностей, сходящихся к элементу . Этот класс не пуст, поскольку содержит стационарную последовательность . Очевидно,

,

поскольку в качестве определяющих классы и можно взять последовательности и . Итак пространство изометрично .

Далее покажем, что всюду плотно в метрическом пространстве , т.е. замыкание совпадает со всем пространством .

Пусть - произвольный элемент из и - определяющая для этого класса фундаментальная последовательность. Обозначим через стационарную последовательность, т.е. . Докажем, что в пространстве . Так как последовательность фундаментальна, то для любого существует число такое, что

, .

Отсюда и из определения расстояния в пространстве получаем

, .

А это и означает, что в пространстве . И по предложению 9 множество плотно в пространстве .

Наконец, в заключении, докажем полноту пространства . Возьмем фундаментальную в последовательность точек .Так как плотно в пространстве , то для найдется элемент такой, что . С учетом неравенства треугольника имеем

.

Из этого неравенства, учитывая фундаментальность последовательности , получим, что последовательность также является фундаментальной и поэтому представляет некоторый класс . Снова из неравенства треугольника имеем

.

Отсюда окончательно получаем, что . Теорема полностью доказана.

Замечание. В виду того, что пространство изометрично множеству , то мы можем отождествлять их элементы. Это учтем в следующей теореме.

Теорема 2. Пополнение метрического пространства единственно с точностью до изометрии, оставляющей неподвижными точки из .

Доказательство. Пусть и два пополнения пространства . Нужно доказать существование такого взаимно однозначного отображения пространства на , что

1) ;

2) если и , то , где - расстояние в , а - расстояние в .

Возьмем произвольный элемент . По определению пополнения существует последовательность точек из , сходящаяся к . Так как пространство - полно, а последовательность - фундаментальна, то она сходится и в пространстве к некоторой точке . Положим . Отображение и есть искомая изометрия.

В самом деле, по построению, для всех . Далее, пусть

в и в ,

в и в ,

тогда в силу непрерывности расстояния,

,

.

Отсюда следует, что

.

И теорема доказана.

 







Дата добавления: 2015-08-29; просмотров: 911. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2022 год . (0.005 сек.) русская версия | украинская версия