Примеры метрических пространств

Приведем примеры наиболее часто встречающихся метрических пространств. При этом первые две аксиомы проверяются без труда. Для проверки аксиомы треугольника в ряде случаев используются известные неравенства, имеющие самостоятельное значение. Доказательство таких неравенств, как правило, приводится в приложении.

1. Пространство изолированных точек (или дискретное метрическое пространство) - это произвольное множество, для которого

Все три аксиомы очевидно выполняются.

2. Множество действительных чисел с расстоянием

образует метрическое пространство .

3. Во множестве действительных чисел метрику можно также определить по формуле

Здесь определяется как в примере 2.

4. Евклидово пространство - это множество упорядоченных наборов из действительных чисел с расстоянием

() (1.5)

Пусть , , ; тогда аксиома треугольника записывается в виде

. (1.6)

Полагая , , получаем , а неравенство (1.6) принимает вид

. (1.7)

Это – так называемое неравенство Минковского. Его доказательство приводится в приложении.

5. Пространство всех ограниченных числовых последовательностей . Последовательность ограничена, если найдется такое число , что верно неравенство для всех . Для двух числовых последовательностей и расстояние определяется по формуле

.

Проверим аксиому треугольника. Имеем

.

Отсюда

.

6. Пространство состоит из вещественных последовательностей , для которых . Расстояние в нем определяется по формуле

.

Неравенство треугольника проверяется с помощью неравенства Минковского, приводимого в приложении.

7. Пространство всех числовых последовательностей. Метрику в нем определяем по формуле

.

Этот ряд, очевидно, сходится. Для проверки неравенства треугольника, вначале докажем одно вспомогательное неравенство. Пусть . Тогда . Деля это неравенство на , получим

. (1.8)

Возьмем три последовательности , и . Для каждого справедливо неравенство и с учетом (1.8) имеем

. (1.9)

Умножая крайние члены ряда (1.9) на и суммируя по , получим неравенство треугольника.

8. Пространство всех непрерывных действительных функций , определенных на отрезке , с расстоянием

.

Проверим аксиому треугольника. Имеем

. (1.10)

Так как неравенство (1.10) справедливо при всех , то получим

. Следовательно - метрическое пространство.

9. Пространство состоит из всех измеримых по Лебегу на функций , для которых

,

где - некоторое положительное число.

Расстояние в этом пространстве определяется по формуле

.

Неравенство треугольника проверяется с помощью неравенства Минковского для интегралов, приводимого в приложении.

10. В заключении приведем еще одно пространство. На действительной прямой определим метрику с помощью строго монотонной действительной функции , полагая

.

Аксиомы метрического пространства проверяются без труда.