Пример 15.

Построить эпюры нормальных сил и нормальных напряжений для бруса, изображенного на рис. а. Принять a = 0,4 м; площадь поперечного сечения бруса на участках III и IV А = 20 см²; сосредоточенная сила F = 0,5 кН, собственный вес = 0,0078 кг/см³ = 76,44 кН/м³.

Решение.

Для определения внутренних усилий разбиваем брус с прямолинейной осью на четыре участка. Проводим сечение I – I (рис. а) и отбрасываем верхнюю часть бруса, заменяя действие отброшенной части нормальной силой N ₁ (рис. б). Так как сечение I –I может быть проведено в любом месте участка I, то длина оставшейся части участка будет переменной величиной, и поэтому обозначим ее через x (рис. б), причем . Запишем уравнение равновесия, проектируя силы, действующие на оставшуюся часть бруса, на направление оси бруса:

а б в г д е ж

 

откуда

Через обозначен собственный вес оставшейся части бруса первого участка, в пределах которого площадь поперечного сечения равна 2А, а длина оставшейся части обозначена через x. Подставим численные значения в полученную формулу:

.

Записанное выражение показывает, что эпюра нормальных сил в пределах первого участка представляет собой наклонную прямую линию. Для построения этой прямой определим значение нормальной силы N ₁ в начале первого участка (x = 0): N ₁(x = 0) = 500 Н и в конце первого участка (x = a= 0,5 м): N₁ (х = 0,5 м) =

Полученные значения откладываем в масштабе в соответствующих точках эпюры нормальных сил (рис. е). Найденные точки соединяем прямой линией, затем штрихуем первый участок эпюры прямыми линиями, перпендикулярными к оси бруса.

Проводим сечение II – II и повторяем порядок расчета, описанный выше для сечения I – I. Переменная величина х участка II – II будет изменяться в пределах . Составим уравнение равновесия (рис. в)

откуда

где – собственный вес части бруса, расположенного ниже сечения II – II.

Окончательно имеем

Определяем значение нормальной силы N ₂ в начале второго участка (х = 0,5 м):

и в конце этого же участка (х = х _max = 1 м):

Полученные значения N ₂ откладываем в масштабе в начале и в конце второго участка (рис. е).

Проводим сечение III – III и для оставшейся части бруса составляем уравнение равновесия (рис. г)

откуда где – собственный вес оставшейся части бруса третьего участка; – собственный вес первого и второго участков.

Тогда для участка

где нормальная сила N ₃в начале третьего участка будет N ₃(х =0) = – 194,2 Н; а в конце третьего участка получаем N ₃(х = a = 0,5 м) = – 117,8 Н. Найденные значения N ₃переносим на эпюру нормальных сил.

И наконец, рассматривая равновесие оставшейся части бруса, после проведения сечения IV – IV получаем (рис. д)

откуда где Н– собственный вес участков I – I и II – II, – собственный вес третьего и оставшейся части четвертого участков.

В этом случае имеем

т.е. в начале четвертого участка N ₄(х = 0,5 м) = 382,2 Н, а в конце этого же участка N ₄(х = 1 м) = 458,64 Н. Вычисленные значения N ₄откладываем в масштабе на эпюре нормальных сил (рис. е).

Эпюра нормальных сил показывает, что первый и четвертый участок подвержены растяжению, а второй и третий – сжатию.

Для вычисления значений нормальных напряжений и построения эпюры нормальных напряжений используем формулу:

Эпюра нормальных напряжений показывает, что самое большое нормальное напряжение возникает в сечении, проходящем через точку Л четвертого участка (рис. ж), т.е. на опоре.