Пример 30.

Дана статически неопределимая плоская шарнирно - стержневая система, состоящая из абсолютно жесткого бруса, опертого на шарнирную опору и прикрепленного к двум стержням ВВ ₁ и СС ₁ при помощи шарниров.

Площади поперечных сечений показаны на рис. а.

Определить нормальные усилия в стержнях ВВ ₁ и СС ₁.

Решение.

На рис. б показана расчетная схема рассматриваемой шарнирной системы, где N ₁, N ₂ – нормальные силы, возникающие в стержнях ВВ ₁ и СС ₁; V, H – вертикальная и горизонтальная составляющая опорной реакции шарнирно-непод-вижной опоры О; F – внешняя сосредоточенная сила, приложенная к абсолютно жесткому брусу ВD. Таким образом, имеем четыре неизвестные реакции (N ₁, N ₂, V, H,) и три уравнения равновесия (,,). Следовательно, данная система является один раз статически неопределимой и для ее решения требуется составить одно дополнительное уравнение перемещений.

Запишем уравнение равновесия

(а)

которое содержит две неизвестные нормальные силы N₁ и N₂. Для составления дополнительного уравнения перемещений рассмотрим деформацию системы, предположив, что абсолютно жесткий брус ВD при деформации повернется вокруг опоры О (рис. б, пунктирная линия В ^/ ОD ^/), оставаясь прямым.

Из подобия треугольников ВВ ^/ О и DD ^/ О находим:

или (б)

Из-за малости перемещений будем полагать, что точки В, С, D при деформации системы переместятся соответственно в точки В ^/, С ^/, D ^/, т.е. перемещения точек абсолютно жесткого бруса будут происходить вертикально. Определим удлинения стержней ВВ₁ и СС₁:

(в)

но с другой стороны при рассмотрении рис. б можно получить

и или

а с учетом формул (в) имеем (г)

Приравняем соответствующие части формул (б) и (г):

(д)

Таким образом, получена система двух уравнений (а) и (д) с двумя неизвестными N ₁ и N ₂, решая которую находим

.