Пример 25.

Задан стальной стержень, заделанный обоими концами и нагруженный силой F = 1000 Н (рис. а). Удельный вес материала стержня = 78,5 кН/м³, модуль упругости – .

Требуется построить эпюры нормальных сил и напряжений, а также определить перемещение сечения I – I.

Решение.

Выбираем основную систему, которая должна представлять собой статически определимую неизменяемую систему. Основная система получается из заданной системы путем отбрасывания лишних связей и замены их действия неизвестными реакциями. Принятая основная система показана на рис. б.

Строим эпюру нормальных сил для основной системы, для чего определяем нормальные силы в соответствующих сечениях (рис. б):

Определяем перемещение нижнего конца стального стержня основной системы:

Таким образом, если в статически неопределимом брусе (рис. а) убрать одну нижнюю опору, то нижнее опорное сечение переместится вниз на величину , но этого в реальном брусе не может быть, следовательно, на опоре В должна действовать опорная реакция R_B, от которой будет возникать линейная деформация , равная по величине , но противоположная по знаку:

Уравнение перемещений будет иметь вид:

или откуда находим R_B = 857,16 Н.

Опорная реакция R_B вызывает в брусе сжатие, следовательно, эпюра нормальных сил от действия только опорной реакции R_B будет иметь вид прямоугольника (рис. в).

Для получения эпюры нормальных сил для статически неопределимого бруса (рис. а) следует сложить две эпюры: эпюру нормальных сил в основной системе (рис. б) и эпюру нормальных сил от действия опорной реакции R_B (рис. в). Сложение эпюр проводим, складывая значения нормальных сил двух эпюр в соответствующих точках (рис. г). После чего строится эпюра нормальных напряжений по формуле

Эпюра нормальных напряжений показывает, что самое большое сжимающее нормальное напряжение будет в нижнем опорном сечении ( КПа), а самое большое растягивающее напряжение – в верхнем опорном сечении ( = 154,2 КПа). По эпюре нормальных сил находим опорную реакцию в верхней заделке – R_С = 770,84 Н.

Критерием правильности вычислений является равенство нулю площади эпюры нормальных напряжений, т.е. или , где – площадь части эпюры нормальных напряжений со знаком «плюс» (рис. д):

– площадь части эпюры нормальных напряжений со знаком «минус»:

В нашем случае == 191,6, следовательно, расчет выполнен правильно.

Определим перемещение сечения I – I (рис. а), для чего применим метод сечений. Проведем сечение I – I на эпюре нормальных сил (рис. г) и отбросим нижнюю часть эпюры, тогда по оставшейся части эпюры определяем

Перемещение можно вычислить, если отбросить верхнюю часть эпюры нормальных сил:

Получили одно и то же значение перемещений, но с разными знаками, что естественно, так как сечение I – I переместилось вниз, следовательно, верхняя часть бруса увеличила линейные размеры вдоль оси, а нижняя, наоборот уменьшила.