Доказательство. · Достаточность. Пусть интеграл

· Достаточность. Пусть интеграл

,

где L - любой замкнутый контур, принадлежащий области D.

Покажем, что этот интеграл не зависит от пути интегрирования. Действительно, пусть А и В - две точки области D. Соединим их двумя различными, произвольно выбранными кривыми АтВ и АпВ, лежащими в области D (рис. 8). Покажем, что

.

Рис. 8

Дуги АтВ и АпВ образуют замкнутый контур АтВnA. По свойствам (3 и 1) криволинейных интегралов

.

Следовательно,

, или ,

т. е. криволинейный интеграл не зависит о пути интегрирования.

· Необходимость. Пусть в области D криволинейный интеграл

не зависит от пути интегрирования. Покажем, что интеграл по любому замкнутому контуру, лежащему в этой области, равен нулю.

Действительно, рассмотрим произвольный замкнутый контур, лежащий в области D, и возьмём на нём две произвольные точки А и В (рис. 7.). Тогда

,

т.к. по условию

.

Итак, интеграл по любому замкнутому контуру L, лежащему в области D, равен нулю. Лемма доказана.

Докажем теперь основную теорему.

Теорема 3. Пусть функции Р (х, у) и Q (x, y) непрерывны вместе со своими частными производными первого порядка в области D, ограниченной одним замкнутым контуром. Тогда для того, чтобы криволинейный интеграл

(15)

не зависел от линии интегрирования, необходимо и достаточно, чтобы во всех точках области D выполнялось равенство

(16)