Доказательство. · Необходимость.Пусть Pdx + Qdy = du(x, y)

· Необходимость. Пусть Pdx + Qdy = du (x, y). Тогда справедливо соответствие

и .

Продифференцируем каждое из этих равенств:

.

По свойству смешанных производных правые части последних соотношений равны и, в силу их непрерывности (по условию теоремы), в любой точке области D выполняется равенство

.

Необходимость доказана.

· Достаточность. Пусть в области D выполняется тождественное равенство

.

Но тогда по теореме 1 линейный интеграл (15) не зависит от пути интегрирования. Установим правило нахождения первообразной функции u (х, у) по её полному дифференциалу, тем самым доказав её существование.

Выберем в области D какую-то фиксированную точку А (х ₀, у ₀) и переменную точку М (х, у). Линейный интеграл (15) будет функцией верхнего предела

§ Пусть точка М переместилась (см. рис. 10) в положение M ₁(x + x, y). Тогда функция Ф(х, у) получит частное приращение по переменной х

(20)

Поскольку переменная у не получила приращения на отрезке ММ ₁ ( у = 0, у = const), то подынтегральное выражение в последнем интеграле зависит от одной переменной х, а интеграл (20) является определённым.

Рис. 10

Применим к нему теорему о среднем:

где .

Разделив на х, получаем

или, переходя к пределу при х 0, в силу непрерывности функции Р (х, у), имеем

§ Пусть теперь точка М движется параллельно оси оу, т. е. функция Ф(х, у) получает приращение по переменной у, при этом х = 0:

где М ₂(х, у + у).

Проводя рассуждения, аналогичные предыдущим, приходим к заключению, что

Сложив результаты, получаем формулу полного дифференциала некоторой функции Ф(х, у)

Интегрируя, находим одну из первообразных линейного интеграла

Сформулируем правило отыскания функции. Поскольку подынтегральное выражение - полный дифференциал некоторой функции, линейный интеграл не зависит от пути интегрирования. Выберем самый удобный путь, соединяющий точки А (х ₀, у ₀) и М (х, у), например, ломаную АВМ с отрезками, параллельными осям (см. рис. 11). Исследуем эти отрезки:

Рис.11

Переходим к вычислению интеграла

(21)

Теорема доказана. Мы получили метод отыскания функции поеё полному дифференциалу, доказав таким образом факт существования такой функции.

Последнюю формулу чаще записывают в виде

(22)

Получим ещё один результат, проанализировав формулу (21), каждое слагаемое которой является определённым интегралом с переменным верхним пределом, подынтегральное выражение каждого из них зависит от переменной t. Применим к

ним формулу Ньютона-Лейбница, учитывая, что подынтегральное выражение криволинейного интеграла в левой части равенства есть полный дифференциал некоторой функции, т. е.

Откуда следует, что

Тогда

Следовательно,

или

Последнее равенство является формулой Ньютона-Лейбница для криволинейного интеграла, подтверждающей вывод: интеграл от полного дифференциала не зависит от пути интегрирования, а зависит только от начальной и конечной точек интегрирования.

 

19 Поверхностный интеграл.