Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Обобщенно - однородные уравнения.




Рассмотрим уравнения вида

. (5)

Уравнение (5) называется обобщенно - однородным, если существуют числа k и m такие, что

.

С помощью замены (при x<0 полагаем )

,

где t - новая независимая переменная, u - новая искомая функция, уравнение (5) приводит к уравнению, не содержащему независимой переменной t и, следовательно, допускающему понижение порядка на единицу (см. п. 2).

Производные при данной замене преобразуются по формулам

......................................................................

.

Подстановка последних равенств в (5) дает уравнение вида

,

которое явно не содержит независимую переменную t.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение.

Проверим, что уравнение является однородным. С этой целью вместо переменных подставим в выражение для функции соответственно и, если это возможно, подберем значение k таким образом, чтобы выполнялось тождество

.

Очевидно, что такое тождество выполняется лишь при условии 4k=2, т.е при k=1/2 (при этом m=2). Следовательно, данное уравнение обобщенно однородное. Применив подстановку , получим уравнение

.

Последнее уравнение явно не содержит переменную t, поэтому посредством замены понижаем порядок на единицу:

.

Проинтегрировав последнее уравнение, находим

.

Далее, интегрируем уравнение

:

и получаем окончательно решения уравнение в виде

.







Дата добавления: 2015-08-30; просмотров: 597. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2021 год . (0.001 сек.) русская версия | украинская версия