Обобщенно - однородные уравнения.

Рассмотрим уравнения вида

. (5)

Уравнение (5) называется обобщенно - однородным, если существуют числа k и m такие, что

.

С помощью замены (при x<0 полагаем )

,

где t - новая независимая переменная, u - новая искомая функция, уравнение (5) приводит к уравнению, не содержащему независимой переменной t и, следовательно, допускающему понижение порядка на единицу (см. п. 2).

Производные при данной замене преобразуются по формулам

......................................................................

.

Подстановка последних равенств в (5) дает уравнение вида

,

которое явно не содержит независимую переменную t.

Пример 4. Решить уравнение .

Решение.

Проверим, что уравнение является однородным. С этой целью вместо переменных подставим в выражение для функции соответственно и, если это возможно, подберем значение k таким образом, чтобы выполнялось тождество

.

Очевидно, что такое тождество выполняется лишь при условии 4k=2, т.е при k=1/2 (при этом m=2). Следовательно, данное уравнение обобщенно однородное. Применив подстановку , получим уравнение

.

Последнее уравнение явно не содержит переменную t, поэтому посредством замены понижаем порядок на единицу:

.

Проинтегрировав последнее уравнение, находим

.

Далее, интегрируем уравнение

:

и получаем окончательно решения уравнение в виде

.