Решение. Другими словами, нам требуется найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

Другими словами, нам требуется найти частное решение линейного неоднородного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами , удовлетворяющее начальным условиям .

Сначала найдем общее решение ЛНДУ, далее займемся частным решением.

Мы знаем, что общее решение линейного неоднородного уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и какого-либо частного решения неоднородного уравнения , то есть, .

Найдем . Для этого записываем характеристическое уравнение и находим его корни.

Корни действительные и различные, поэтому, .

Переходим к . Так как правая часть исходного уравнения есть многочлен второй степени и один корень характеристического уравнения равен нулю, то частное решение ищем в виде , где А, В и С – неопределенные коэффициенты. Эти коэффициенты определим из равенства .

Приравнивая коэффициенты при одинаковых показателях степени x, приходим к системе линейных уравнений . Решая ее любым способом (при необходимости обращайтесь к статье решение систем линейных алгебраических уравнений), получаем искомые неопределенные коэффициенты . Следовательно, и .

Это есть общее решение исходного линейного неоднородного дифференциального уравнения.

Осталось найти частное решение, удовлетворяющее начальным условиям . То есть, требуется определить такие C₁ и C₂ в равенстве , чтобы выполнялись условия .

Имеем

С другой стороны .

Таким образом, получаем систему уравнений . Откуда . Следовательно, решением задачи Коши является функция

 

 

34 Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

истема дифференциальных уравнений 1-го порядка в нормальной форме записи имеет вид

u′ = A u.

(1)

 

Здесь u — n -мерный вектор, A — матрица n × n, элементы которой являются константами. Для нахождения решения системы (1) необходимо определить собственные числа матрицы A, т.е. корни характеристического уравнения det (A – λ E) = 0. По основной теореме алгебры это уравнение имеет ровно n корней с учётом кратности. Если все корни λ _k, k = 1, n, различны между собой, то общее решение системы (1) можно представить в виде

n   u(t) = ∑ Ck h k e λ k t.   k =1

(2)

где h _k — любой собственный вектор матрицы A, соответствующий собственному числу λ _k (т.е. h _k — любой ненулевой вектор, являющийся решением вырожденной системы уравнений(A – λ _kE) h _k = 0), C_k — произвольные константы.

Случай кратных корней более интересен. Если корень λ имеет кратность m, то его вклад в решение (2) зависит от ответа на вопрос: «Можно ли найти m линейно независимых собственных векторов для этого корня?», а этот ответ, в свою очередь, зависит от ответа на вопрос: «Чему равен ранг матрицы (A – λ E)?».

 

ТАБЕЛЬ О РАНГАХ     ... и дальше замямлил такие прописные истины, что толпа, слушавшая уже шестую международную речь, похолодела.   И. Ильф, Е. Петров. «Двенадцать стульев».   Ранг матрицы — это или число её линейно независимых строк, или число её линейно независимых столбцов, или порядок её максимального минора с ненулевым определителем. Любого из этих трёх равнозначных определений ранга вполне достаточно на все случаи жизни. При решении задач мы будем иметь дело только с квадратными матрицами, поэтому о прямоугольных матрицах здесь говорить не будем. Если дана матрица A размером n × n, то её ранг — это целое число от нуля до n. Рассмотрим крайние варианты. Если A — нулевая матрица, т.е. состоит из одних нулей, то rank A = 0. Если A — матрица с ненулевым определителем, т.е. det A ≠ 0, то rank A = n, поскольку в этом случае максимальный невырожденный минор — это сама матрица A и есть. Во всех остальных случаях 1 ≤ rank A ≤ n –1. Обычно ранг матрицы находят используя слегка модифицированные приёмы, полезные при нахождении определителя (далее эти приёмы даются для столбцов; во всех формулировках столбцы можно заменить на строки): Все элементы столбца можно умножить на любое число, отличное от нуля. Например, можно сократить все элементы столбца на общий множитель. К одному столбцу можно прибавить другой, умноженный на любое число. Нулевой столбец можно выкинуть (ранг от этого не изменится). Из двух одинаковых или пропорциональных столбцов один можно выкинуть. Столбцы можно переставлять. Поговорим теперь о ранге матриц вида A – λ E, где λ — собственное число матрицы A. Для таких матриц det(A – λ E) = 0, поэтому обязательно rank(A – λ E) < n. Многие задачи, которые нам предстоит рассмотреть, связаны с матрицами 3×3, т.е. rank (A – λ E) < 3. Совсем уж тривиальных задач, когда A – λ E вдруг окажется нулевой матрицей, тоже не будет. Таким образом, ранг будет или 1, или 2. Если все строки пропорциональны между собой, то rank (A – λ E) = 1. Если взгляд выхватывает две строки, где пропорциональность отсутствует, а простейшая проверка минора 2×2 даёт ненулевой определитель, тоrank (A – λ E) = 2.

 

Возвращаемся к рассмотрению случая кратных корней. Итак, пусть собственное число λ исходной n × n -матрицы A имеет кратность m. При этом rank(A – λ E) мы знаем. Тогда число линейно независимых векторов для λ равно n – rank(A – λ E). Если m = n – rank(A – λ E), т.е. найдётся m ЛНЗ собственных векторов h ₁, h ₂,..., h _m, то форма решения (2) не меняется: вклад собственного числа λ в решение u (t) имеет вид

(C 1 h1 + C 2 h2 +... + Cm h m) e λ t.

(3)

 

Если же n – rank(A – λ E) < m, т.е. количество ЛНЗ векторов меньше, чем надо, то вклад числа λ в решение u (t) будет следующим:

(ts h1 + ts –1 h2 +... + h s +1) e λ t.

(4)

 

Здесь степень s многочлена в скобках есть разность между кратностью корня λ и числом ЛНЗ собственных векторов для него (т.е. s = m – n + rank(A – λ E)). При этом произвольные постоянные входят в состав векторов h _k (т.е. здесь требуется искать не какое-то частное решение соответствующей вырожденной системы, а общее). Нахождение векторов h _k осуществляется с помощьюподстановки (4) в уравнение (1).

806. Решить систему уравнений

ì î

x ′ y ′ z ′

ü þ

=

ì î

–2 1 3 1 –2 –3 –2 2 5

üì þî

x y z

ü þ

.

Характеристические числа в данном случае известны: λ₁=3, λ_2,3=–1.

Решение. [· · ·]

811. Решить систему уравнений

ì î

x ′ y ′ z ′

ü þ

=

ì î

2 2 –1 –1 –1 1 –1 –2 2

üì þî

x y z

ü þ

, λ1,2,3 = 1.

Решение. [· · ·]

Необходимо отметить, что в случаях, подобных вышеизложенному (т.е. когда число ЛНЗ собственных векторов меньше кратности собственного числа), имеется и другой способ нахождения решения. Этот способ основан на построении линейно независимых серий векторов (см. дайджест у Филиппова, подробности — у Понтрягина). Мне он кажется неоправданно громоздким для такой простой задачи, хотя и красивым в теоретическом плане. Однако, если в будущем предвидится необходимость в массовом решении дифференциальных систем или хочется довести своё умение решать подобные задачи до автоматизма и, заодно, свести к минимуму времязатраты (впрочем, шансов сравняться по этому показателю с Maple никаких), то понтрягинский подход можно выучить. А так, достаточно запомнить просто принцип:

1. вклад собственного числа λ в общее решение — это многочлен степени «кратность λ минус число соответствующих ЛНЗ собственных векторов», умноженный на e ^{λ t} ;

2. если подставить такое произведение в исходную систему, то можно найти коэффициенты-векторы многочлена;

3. искать коэффициенты-векторы надо в общем виде (частных решений не достаточно) и последовательно, начиная с коэффициента при старшей степени многочлена.

 

39 Признак Даламбера сходимости числового ряда

Пусть задана бесконечная последовательность чисел . Выражение называется числовым рядом. При этом числа называются членами ряда.

Числовой ряд часто записывают в виде .

Теорема (необходимый признак сходимости ряда). Если ряд сходится, то его -й член стремится к нулю при неограниченном возрастании .

Следствие. Если -й член ряда не стремится к нулю при , то ряд расходится.

Теорема (признак Даламбера). Если в ряде с положительными членами отношение -го члена ряда к -му при имеет конечный предел , т.е. , то:
- ряд сходится в случае ,
- ряд расходится в случае .
В случаях, когда предел не существует или он равен единице, ответа на вопрос о сходимости или расходимости числового ряда теорема не дает. Необходимо провести дополнительное исследование.