Остаток ряда и его оценка
Рассмотрим сходящийся числовой ряд (23) Вычисление суммы ряда S = обычно технически очень сложно. Поэтому в качестве S берут S ≈ Sn. Точность этого равенства возрастает с увеличением n. Определение 7. Если числовой ряд сходится, то разность Rn = S - Sn называется n -м остатком ряда. Таким образом, Rn представляет собой сходящийся числовой ряд: Rn = un+1+un+2+…. Заметим, что Rn= (S-Sn)=S-S=0. Абсолютная погрешность при замене суммы ряда S его частичной суммой Sn равна | Rn|=|S-Sn|. Таким образом, если требуется найти сумму ряда с точностью до E >0, то надо взять сумму такого числа n первых членов ряда, чтобы выполнялось условие | Rn|<E. Однако в общем случае находить точно Rn не удаётся. Теорема 11. (Об оценке остатка знакочередующегося числового ряда) Если знакочередующийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, то его n -й остаток по абсолютной величине не превосходит модуля (n +1)-го члена ряда. Доказательство. Пусть ряд u1-u2+u3-u4+…+(-1)n-1.un+… сходится по признаку Лейбница. Тогда n -й остаток ряда Rn=±(un+1-un+2+un+3-…) сам является суммой знакочередующегося числового ряда и по теореме Лейбница |Rn|≤|un+1 |. Теорема доказана. Пример. Вычислить с точностью до 0,01 сумму ряда Очевидно, ряд сходится по признаку Лейбница. u1 = =1; u2 = ≈
46 Понятие функционального ряда. Степенной ряд. Теорема Абеля.
О: Функциональный ряд (ф.р.) представляет собой ряд , его члены — это функции от Числовым функциональный ряд можно назвать в том случае, когда является фиксированным. Область сходимости ф.р. есть множество значений , для которых он сходится. В области сходимости ф.р. . Пример: функциональный ряд . Определить область сходимости. Поскольку его члены являются положительными, то для выявления области сходимости применим признак Даламбера:
если то ряд сходится. Существенный частный случай ф.р. — степенный ряд. О: Степенный ряд (с.р.) есть ф.р., который имеет следующий вид
(30.1)
Если , то ряд по степеням можно записать так:
(30.2)
Для определения области сходимости с.р., представим доказательство теоремы Абеля. Т. (Абеля): В случае, когда степенной ряд (30.2) сходится при можно заключить, что он абсолютно сходится При расходимости ряда (30.2) в т. он расходится . Предположим, что ряд сходится, соответственно Учитывая то, что функция, обладающая пределом, является ограниченной, можно обозначить
Представим ряд (30.2) в следующем виде
.
Для ряда, составленного из абсолютных величин его членов
(30.3)
запишем , при этом геометрическая прогрессия сходится при Получается, что, если в соответствии с первым признаком сравнения ряд (30.3) сходится, то по признаку абсолютной сходимости ряд (30.2) сходится абсолютно. Далее предположим, что при ряд (30.2) расходится. Допустим, что смысл теремы противоположен:
,
при нем ряд (30.2) сходится. Однако в соответствии с представленным ранее доказательством ряд (30.2) предполагает сходимость в т. . Данное противоречие доказывает теорему.
48 Применение рядов к интегрированию функций.
|