Остаток ряда и его оценка

Рассмотрим сходящийся числовой ряд

(23)

Вычисление суммы ряда S= обычно технически очень сложно. Поэтому в качестве S берут S≈S_n. Точность этого равенства возрастает с увеличением n.

Определение 7. Если числовой ряд сходится, то разность R_n=S-S_n называется n-м остатком ряда.

Таким образом, R_n представляет собой сходящийся числовой ряд:

R_n= u_n+1+u_n+2+… .

Заметим, что R_n= ( S-S_n)=S-S=0.

Абсолютная погрешность при замене суммы ряда S его частичной суммой S_n равна |R_n|=|S-S_n|. Таким образом, если требуется найти сумму ряда с точностью до E>0, то надо взять сумму такого числа n первых членов ряда, чтобы выполнялось условие |R_n|<E. Однако в общем случае находить точно R_n не удаётся.

Теорема 11. (Об оценке остатка знакочередующегося числового ряда)

Если знакочередующийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, то его n-й остаток по абсолютной величине не превосходит модуля (n+1)-го члена ряда.

Доказательство. Пусть ряд u₁-u₂+u₃-u₄+…+(-1)^n-1.u_n+… сходится по признаку Лейбница. Тогда n-й остаток ряда R_n=±(u_n+1-u_n+2+u_n+3-…) сам является суммой знакочередующегося числового ряда и по теореме Лейбница |R_n|≤|u_n+1|. Теорема доказана.

Пример.

Вычислить с точностью до 0,01 сумму ряда

Очевидно, ряд сходится по признаку Лейбница. u₁= =1; u₂= ≈
≈0,166; u₃= ≈0,008<0,01. Поэтому S≈1-0,166≈0,84.

46 Понятие функционального ряда. Степенной ряд. Теорема Абеля.

О: Функциональный ряд (ф.р.) представляет собой ряд , его члены — это функции от

Числовым функциональный ряд можно назвать в том случае, когда является фиксированным. Область сходимости ф.р. есть множество значений , для которых он сходится.

В области сходимости ф.р. .

Пример: функциональный ряд . Определить область сходимости.

Поскольку его члены являются положительными, то для выявления области сходимости применим признак Даламбера:

если то ряд сходится.

Существенный частный случай ф.р. — степенный ряд.

О: Степенный ряд (с.р.) есть ф.р., который имеет следующий вид

(30.1)

Если , то ряд по степеням можно записать так:

(30.2)

Для определения области сходимости с.р., представим доказательство теоремы Абеля.

Т. (Абеля): В случае, когда степенной ряд (30.2) сходится при можно заключить, что он абсолютно сходится При расходимости ряда (30.2) в т. он расходится .

Предположим, что ряд сходится, соответственно

Учитывая то, что функция, обладающая пределом, является ограниченной, можно обозначить

Представим ряд (30.2) в следующем виде

.

Для ряда, составленного из абсолютных величин его членов

(30.3)

запишем , при этом геометрическая прогрессия сходится при Получается, что, если в соответствии с первым признаком сравнения ряд (30.3) сходится, то по признаку абсолютной сходимости ряд (30.2) сходится абсолютно.

Далее предположим, что при ряд (30.2) расходится. Допустим, что смысл теремы противоположен:

,

при нем ряд (30.2) сходится. Однако в соответствии с представленным ранее доказательством ряд (30.2) предполагает сходимость в т. . Данное противоречие доказывает теорему.

48 Применение рядов к интегрированию функций.