Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Остаток ряда и его оценка





Рассмотрим сходящийся числовой ряд

(23)

Вычисление суммы ряда S = обычно технически очень сложно. Поэтому в качестве S берут SSn. Точность этого равенства возрастает с увеличением n.

Определение 7. Если числовой ряд сходится, то разность Rn = S - Sn называется n -м остатком ряда.

Таким образом, Rn представляет собой сходящийся числовой ряд:

Rn = un+1+un+2+….

Заметим, что Rn= (S-Sn)=S-S=0.

Абсолютная погрешность при замене суммы ряда S его частичной суммой Sn равна | Rn|=|S-Sn|. Таким образом, если требуется найти сумму ряда с точностью до E >0, то надо взять сумму такого числа n первых членов ряда, чтобы выполнялось условие | Rn|<E. Однако в общем случае находить точно Rn не удаётся.

Теорема 11. (Об оценке остатка знакочередующегося числового ряда)

Если знакочередующийся числовой ряд сходится по признаку Лейбница, то его n -й остаток по абсолютной величине не превосходит модуля (n +1)-го члена ряда.

Доказательство. Пусть ряд u1-u2+u3-u4+…+(-1)n-1.un+… сходится по признаку Лейбница. Тогда n -й остаток ряда Rn=±(un+1-un+2+un+3-…) сам является суммой знакочередующегося числового ряда и по теореме Лейбница |Rn|≤|un+1 |. Теорема доказана.

Пример.

Вычислить с точностью до 0,01 сумму ряда

Очевидно, ряд сходится по признаку Лейбница. u1 = =1; u2 =
≈0,166; u3 = ≈0,008<0,01. Поэтому S ≈1-0,166≈0,84.

 

 

46 Понятие функционального ряда. Степенной ряд. Теорема Абеля.

 

О: Функциональный ряд (ф.р.) представляет собой ряд , его члены — это функции от

Числовым функциональный ряд можно назвать в том случае, когда является фиксированным. Область сходимости ф.р. есть множество значений , для которых он сходится.

В области сходимости ф.р. .

Пример: функциональный ряд . Определить область сходимости.

Поскольку его члены являются положительными, то для выявления области сходимости применим признак Даламбера:

 

 

если то ряд сходится.

Существенный частный случай ф.р. — степенный ряд.

О: Степенный ряд (с.р.) есть ф.р., который имеет следующий вид

 

(30.1)

 

Если , то ряд по степеням можно записать так:

 

(30.2)

 

Для определения области сходимости с.р., представим доказательство теоремы Абеля.

Т. (Абеля): В случае, когда степенной ряд (30.2) сходится при можно заключить, что он абсолютно сходится При расходимости ряда (30.2) в т. он расходится .

Предположим, что ряд сходится, соответственно

Учитывая то, что функция, обладающая пределом, является ограниченной, можно обозначить

 

 

Представим ряд (30.2) в следующем виде

 

.

 

Для ряда, составленного из абсолютных величин его членов

 

(30.3)

 

запишем , при этом геометрическая прогрессия сходится при Получается, что, если в соответствии с первым признаком сравнения ряд (30.3) сходится, то по признаку абсолютной сходимости ряд (30.2) сходится абсолютно.

Далее предположим, что при ряд (30.2) расходится. Допустим, что смысл теремы противоположен:

 

,

 

при нем ряд (30.2) сходится. Однако в соответствии с представленным ранее доказательством ряд (30.2) предполагает сходимость в т. . Данное противоречие доказывает теорему.

 

48 Применение рядов к интегрированию функций.

 







Дата добавления: 2015-08-30; просмотров: 5025. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...


Расчетные и графические задания Равновесный объем - это объем, определяемый равенством спроса и предложения...


Кардиналистский и ординалистский подходы Кардиналистский (количественный подход) к анализу полезности основан на представлении о возможности измерения различных благ в условных единицах полезности...


Обзор компонентов Multisim Компоненты – это основа любой схемы, это все элементы, из которых она состоит. Multisim оперирует с двумя категориями...

Значення творчості Г.Сковороди для розвитку української культури Важливий внесок в історію всієї духовної культури українського народу та її барокової літературно-філософської традиції зробив, зокрема, Григорій Савич Сковорода (1722—1794 pp...

Постинъекционные осложнения, оказать необходимую помощь пациенту I.ОСЛОЖНЕНИЕ: Инфильтрат (уплотнение). II.ПРИЗНАКИ ОСЛОЖНЕНИЯ: Уплотнение...

Приготовление дезинфицирующего рабочего раствора хлорамина Задача: рассчитать необходимое количество порошка хлорамина для приготовления 5-ти литров 3% раствора...

Внешняя политика России 1894- 1917 гг. Внешнюю политику Николая II и первый период его царствования определяли, по меньшей мере три важных фактора...

Оценка качества Анализ документации. Имеющийся рецепт, паспорт письменного контроля и номер лекарственной формы соответствуют друг другу. Ингредиенты совместимы, расчеты сделаны верно, паспорт письменного контроля выписан верно. Правильность упаковки и оформления....

БИОХИМИЯ ТКАНЕЙ ЗУБА В составе зуба выделяют минерализованные и неминерализованные ткани...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2024 год . (0.008 сек.) русская версия | украинская версия