Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Определение 4





Определителем Вронского системы функций y 1(х), y 2(х) ,..., ym (х)называется функциональный определитель порядка m:

 

= W [ y 1, y 2, ..., ym ]. (7)

П р и м е р 3. Найти определитель Вронского системы функций:

а) у 1(х) = х, у 2(х) = 3 х; б) у 1(х) = sinх, у 2(х) = cosх.

Решение. В случае (а) W [ x, 3 x ] = . Для системы функций у 1(х) = sinх, у 2(х) = cosх имеем

 

W [ sinx, cosx ] =

 

 

Теорема 2 (необходимое условие линейной зависимости)

Если система функций y1(х), y2(х),..., ym(х)линейно зависима на интервале(а, b), то ее определитель Вронского W[y1, y2,..., ym] º 0 на (a, b).

В примере 2 (а) мы установили линейную зависимость системы функций, а в примере 3 (а) показали, что ее определитель Вронского равен нулю.

Данное условие является необходимым, но недостаточным. Сформулируем необходимое и достаточное условие линейной зависимости не для произвольной системы функций, а для решений линейного однородного дифференциального уравнения.

Теорема 3

Функции y1(х), y2(х),..., yn(х) - решения линейного дифференциального уравнения (4), все коэффициенты которого непрерывны на интервале (а, b), образуют линейно независимую систему тогда и только тогда, когда ее определитель Вронского W[y1, y2,..., ym] ¹0 ни в одной точке интервала (a, b).

 

П р и м е р 4. Очевидно, что функции у 1(х) = sinх, у 2(х) = cosх являются решениями уравнения у¢¢ (х) + у (х) = 0. По теореме 3 мы можем утверждать, что они линейно независимы на всей числовой оси, так как W [ sinx, cosx ] º -1 (см. пример 3).

Для установления линейной независимости решений линейного однородного дифференциального уравнения нужно по теореме 3 проверить, что определитель Вронского ни в одной точке интервала не равен нулю. В этом заключается неудобство данного критерия. Однако его можно упростить, если воспользоваться формулой Остроградского - Лиувилля:

W [ y 1(х), y 2(х) ,..., уn (x)] = W [ y 1(х 0), y 2(х 0) ,..., уn (x 0)] , (8)

 

где y 1(х), y 2(х), ..., уn (x)- решения линейного однородного дифференциального уравнения (4), в котором все коэффициенты непрерывны на интервале (а, b), х 0Î (а, b) и р 1(t) - коэффициент перед производной (n - 1)-го порядка в (4).

Действительно, равенство (8) означает: из того, что определитель Вронского не обращается в нуль в некоторой точке х 0Î (а, b) следует, что он не равен нулю ни в какой другой точке этого интервала, так как функция ех ¹ 0 при любом х. Таким образом, получаем

Следствие. Совокупность n решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка n с непрерывными на (а, b) коэффициентами линейно независима тогда и только тогда, когда определитель Вронского отличен от нуля хотя бы в одной точке этого интервала.







Дата добавления: 2015-08-30; просмотров: 798. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...


Вычисление основной дактилоскопической формулы Вычислением основной дактоформулы обычно занимается следователь. Для этого все десять пальцев разбиваются на пять пар...

Типовые примеры и методы их решения. Пример 2.5.1. На вклад начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно Пример 2.5.1. На вклад начисляются сложные проценты: а) ежегодно; б) ежеквартально; в) ежемесячно. Какова должна быть годовая номинальная процентная ставка...

Выработка навыка зеркального письма (динамический стереотип) Цель работы: Проследить особенности образования любого навыка (динамического стереотипа) на примере выработки навыка зеркального письма...

Словарная работа в детском саду Словарная работа в детском саду — это планомерное расширение активного словаря детей за счет незнакомых или трудных слов, которое идет одновременно с ознакомлением с окружающей действительностью, воспитанием правильного отношения к окружающему...

Менадиона натрия бисульфит (Викасол) Групповая принадлежность •Синтетический аналог витамина K, жирорастворимый, коагулянт...

Разновидности сальников для насосов и правильный уход за ними   Сальники, используемые в насосном оборудовании, служат для герметизации пространства образованного кожухом и рабочим валом, выходящим через корпус наружу...

Дренирование желчных протоков Показаниями к дренированию желчных протоков являются декомпрессия на фоне внутрипротоковой гипертензии, интраоперационная холангиография, контроль за динамикой восстановления пассажа желчи в 12-перстную кишку...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.011 сек.) русская версия | украинская версия