Определение 4

Определителем Вронского системы функций y₁(х), y₂(х), ..., y_m(х)называется функциональный определитель порядка m:

 

= W[y₁, y₂, ..., y_m]. (7)

П р и м е р 3. Найти определитель Вронского системы функций:

а) у₁(х) = х, у₂(х) = 3х; б) у₁(х) = sinх, у₂(х) = cosх.

Решение. В случае (а) W[x, 3x] = . Для системы функций у₁(х) = sinх, у₂(х) = cosх имеем

 

W[sinx, cosx] =

 

 

Теорема 2(необходимое условие линейной зависимости)

Если система функций y1(х), y2(х), ..., ym(х)линейно зависима на интервале(а, b), то ее определитель Вронского W[y1, y2, ..., ym] º 0 на (a, b).

В примере 2 (а) мы установили линейную зависимость системы функций, а в примере 3 (а) показали, что ее определитель Вронского равен нулю.

Данное условие является необходимым, но недостаточным. Сформулируем необходимое и достаточное условие линейной зависимости не для произвольной системы функций, а для решений линейного однородного дифференциального уравнения.

Теорема 3

Функции y1(х), y2(х), ..., yn(х) - решения линейного дифференциального уравнения (4), все коэффициенты которого непрерывны на интервале (а, b), образуют линейно независимую систему тогда и только тогда, когда ее определитель Вронского W[y1, y2, ..., ym] ¹0 ни в одной точке интервала (a, b).

 

П р и м е р 4. Очевидно, что функции у₁(х) = sinх, у₂(х) = cosх являются решениями уравнения у¢¢(х) + у(х) = 0. По теореме 3 мы можем утверждать, что они линейно независимы на всей числовой оси, так как W[sinx, cosx] º -1 (см. пример 3).

Для установления линейной независимости решений линейного однородного дифференциального уравнения нужно по теореме 3 проверить, что определитель Вронского ни в одной точке интервала не равен нулю. В этом заключается неудобство данного критерия. Однако его можно упростить, если воспользоваться формулой Остроградского - Лиувилля:

W[y₁(х), y₂(х), ..., у_n(x)] = W[y₁(х₀), y₂(х₀), ..., у_n(x₀)] , (8)

 

где y₁(х), y₂(х), ..., у_n(x)- решения линейного однородного дифференциального уравнения (4), в котором все коэффициенты непрерывны на интервале (а, b), х₀Î (а, b) и р₁(t) - коэффициент перед производной (n - 1)-го порядка в (4).

Действительно, равенство (8) означает: из того, что определитель Вронского не обращается в нуль в некоторой точке х₀Î (а, b) следует, что он не равен нулю ни в какой другой точке этого интервала, так как функция е^х ¹ 0 при любом х. Таким образом, получаем

Следствие. Совокупность n решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка n с непрерывными на (а, b) коэффициентами линейно независима тогда и только тогда, когда определитель Вронского отличен от нуля хотя бы в одной точке этого интервала.