Определение 4

Определителем Вронского системы функций y ₁(х), y ₂(х) ,..., y_m (х)называется функциональный определитель порядка m:

 

= W [ y ₁, y ₂, ..., y_m ]. (7)

П р и м е р 3. Найти определитель Вронского системы функций:

а) у ₁(х) = х, у ₂(х) = 3 х; б) у ₁(х) = sinх, у ₂(х) = cosх.

Решение. В случае (а) W [ x, 3 x ] = . Для системы функций у ₁(х) = sinх, у ₂(х) = cosх имеем

 

W [ sinx, cosx ] =

 

 

Теорема 2 (необходимое условие линейной зависимости)

Если система функций y1(х), y2(х),..., ym(х)линейно зависима на интервале(а, b), то ее определитель Вронского W[y1, y2,..., ym] º 0 на (a, b).

В примере 2 (а) мы установили линейную зависимость системы функций, а в примере 3 (а) показали, что ее определитель Вронского равен нулю.

Данное условие является необходимым, но недостаточным. Сформулируем необходимое и достаточное условие линейной зависимости не для произвольной системы функций, а для решений линейного однородного дифференциального уравнения.

Теорема 3

Функции y1(х), y2(х),..., yn(х) - решения линейного дифференциального уравнения (4), все коэффициенты которого непрерывны на интервале (а, b), образуют линейно независимую систему тогда и только тогда, когда ее определитель Вронского W[y1, y2,..., ym] ¹0 ни в одной точке интервала (a, b).

 

П р и м е р 4. Очевидно, что функции у ₁(х) = sinх, у ₂(х) = cosх являются решениями уравнения у¢¢ (х) + у (х) = 0. По теореме 3 мы можем утверждать, что они линейно независимы на всей числовой оси, так как W [ sinx, cosx ] º -1 (см. пример 3).

Для установления линейной независимости решений линейного однородного дифференциального уравнения нужно по теореме 3 проверить, что определитель Вронского ни в одной точке интервала не равен нулю. В этом заключается неудобство данного критерия. Однако его можно упростить, если воспользоваться формулой Остроградского - Лиувилля:

W [ y ₁(х), y ₂(х) ,..., у_n (x)] = W [ y ₁(х ₀), y ₂(х ₀) ,..., у_n (x ₀)] , (8)

 

где y ₁(х), y ₂(х), ..., у_n (x)- решения линейного однородного дифференциального уравнения (4), в котором все коэффициенты непрерывны на интервале (а, b), х ₀Î (а, b) и р ₁(t) - коэффициент перед производной (n - 1)-го порядка в (4).

Действительно, равенство (8) означает: из того, что определитель Вронского не обращается в нуль в некоторой точке х ₀Î (а, b) следует, что он не равен нулю ни в какой другой точке этого интервала, так как функция е^х ¹ 0 при любом х. Таким образом, получаем

Следствие. Совокупность n решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка n с непрерывными на (а, b) коэффициентами линейно независима тогда и только тогда, когда определитель Вронского отличен от нуля хотя бы в одной точке этого интервала.