Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Определение 4




Определителем Вронского системы функций y1(х), y2(х), ..., ym(х)называется функциональный определитель порядка m:

 

= W[y1, y2, ..., ym]. (7)

П р и м е р 3. Найти определитель Вронского системы функций:

а) у1(х) = х, у2(х) = 3х; б) у1(х) = sinх, у2(х) = cosх.

Решение. В случае (а) W[x, 3x] = . Для системы функций у1(х) = sinх, у2(х) = cosх имеем

 

W[sinx, cosx] =

 

 

Теорема 2(необходимое условие линейной зависимости)

Если система функций y1(х), y2(х), ..., ym(х)линейно зависима на интервале(а, b), то ее определитель Вронского W[y1, y2, ..., ym] º 0 на (a, b).

В примере 2 (а) мы установили линейную зависимость системы функций, а в примере 3 (а) показали, что ее определитель Вронского равен нулю.

Данное условие является необходимым, но недостаточным. Сформулируем необходимое и достаточное условие линейной зависимости не для произвольной системы функций, а для решений линейного однородного дифференциального уравнения.

Теорема 3

Функции y1(х), y2(х), ..., yn(х) - решения линейного дифференциального уравнения (4), все коэффициенты которого непрерывны на интервале (а, b), образуют линейно независимую систему тогда и только тогда, когда ее определитель Вронского W[y1, y2, ..., ym] ¹0 ни в одной точке интервала (a, b).

 

П р и м е р 4. Очевидно, что функции у1(х) = sinх, у2(х) = cosх являются решениями уравнения у¢¢(х) + у(х) = 0. По теореме 3 мы можем утверждать, что они линейно независимы на всей числовой оси, так как W[sinx, cosx] º -1 (см. пример 3).

Для установления линейной независимости решений линейного однородного дифференциального уравнения нужно по теореме 3 проверить, что определитель Вронского ни в одной точке интервала не равен нулю. В этом заключается неудобство данного критерия. Однако его можно упростить, если воспользоваться формулой Остроградского - Лиувилля:

W[y1(х), y2(х), ..., уn(x)] = W[y1(х0), y2(х0), ..., уn(x0)] , (8)

 

где y1(х), y2(х), ..., уn(x)- решения линейного однородного дифференциального уравнения (4), в котором все коэффициенты непрерывны на интервале (а, b), х0Î (а, b) и р1(t) - коэффициент перед производной (n - 1)-го порядка в (4).

Действительно, равенство (8) означает: из того, что определитель Вронского не обращается в нуль в некоторой точке х0Î (а, b) следует, что он не равен нулю ни в какой другой точке этого интервала, так как функция ех ¹ 0 при любом х. Таким образом, получаем

Следствие. Совокупность n решений линейного однородного дифференциального уравнения порядка n с непрерывными на (а, b) коэффициентами линейно независима тогда и только тогда, когда определитель Вронского отличен от нуля хотя бы в одной точке этого интервала.







Дата добавления: 2015-08-30; просмотров: 420. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!


Рекомендуемые страницы:


Studopedia.info - Студопедия - 2014-2021 год . (0.001 сек.) русская версия | украинская версия