Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Решение. Преобразуем исходный ряд:





Преобразуем исходный ряд: . Таким образом, мы получили сумму двух числовых рядов и , причем каждый из них сходится (смотрите предыдущий пример). Следовательно, в силу третьего свойства сходящихся числовых рядов, сходится и исходный ряд.

42 Ряд Дирихле

Ряды Дирихле.

Рядами Дирихле называются функциональные ряды вида S (1/ anx), где числа an неограниченно возрастают; примером ряда Дирихле может служить дзета-функция Римана

Ряды Дирихле часто используются в теории чисел.

 

44 Знакопеременные ряды. Достаточный признак сходимости.

Определение 5. Числовые ряды, содержащие как положительные, так и отрицательные члены, называются знакопеременными рядами.

Ряды, все члены которых отрицательные числа, не представляют нового по сравнению со знакоположительными рядами, так как они получаются умножением знакоположительных рядов на 1.

Изучение знакопеременных рядов начнём с частного случая – знакочередующихся рядов.

Определение 6. Числовой ряд вида u1-u2+u3-u4+…+ +(- 1 )n- 1. un+ …, где un – модуль члена ряда, называется знакочередующимся числовым рядом.

Теорема 9. (Признак Лейбница )

Если для знакочередующегося числового ряда

(19)

Выполняются два условия:

Члены ряда убывают по модулю u1 > u2 >…> un >…,

то ряд (19) сходится, причём его сумма положительна и не превосходит первого члена ряда.

Доказательство. Рассмотрим частичную сумму чётного числа членов ряда S2n = (u1-u2)+(u3-u4)+…+(u2n-1-u2n).

По условию u1 > u2 >…> u2n-1 > u2n, то есть все разности в скобках положительны, следовательно, S2n возрастает с возрастанием n и S2n >0 при любом n.

С другой стороны S2n = u1-[(u2-u3)+(u4-u5)+…+(u2n-2-u2n-1)+u2n]. Выражение в квадратных скобках положительно и S2n >0, поэтому S2n < u1 для любого n. Таким образом, последовательность частичных сумм S2n возрастает и ограничена, следовательно, существует конечный S2n = S. При этом 0< Su1.

Рассмотрим теперь частичную сумму нечётного числа членов ряда S2n+1 = S2n + u2n+1. Перейдём в последнем равенстве к пределу при n→∞: S2n+1= S2n+ u2n+1=S+ 0 =S. Таким образом, частичные суммы как чётного, так и нечётного числа членов ряда имеют один и тот же предел S, поэтому Sn = S, то есть данный ряд сходится. Теорема доказана.

Пример.

Исследовать на сходимость ряд

Применим признак Лейбница.

un = > un+1 =

un =

Оба условия признака Лейбница выполняются, следовательно, ряд сходится.

Замечания.

1. Теорема Лейбница справедлива и если условие un>un+ 1 выполняется, начиная с некоторого номера N.

2. Условие un>un+1 не является необходимым. Ряд может сходиться, если оно не выполняется. Например, ряд
сходится, как разность двух сходящихся рядов хотя условие un>un+1 не выполняется.

Определение 8. Если знакопеременный ряд сходится, а ряд, составленный из абсолютных величин членов этого ряда, расходится, то говорят, что знакопеременный ряд сходится условно.

Определение 9. Если сходится и сам знакопеременный ряд и ряд, составленный из абсолютных величин его членов, то говорят, что знакопеременный ряд сходится абсолютно.

Пример.

Установить характер сходимости ряда

Очевидно, что данный ряд сходится по признаку Лейбница. Действительно: и un =

Ряд, составленный из абсолютных величин членов данного ряда является расходящимся гармоническим рядом. Поэтому данный ряд сходится условно.

Теорема 10. (Достаточный признак сходимости знакопеременного ряда или признак абсолютной сходимости)

Пусть

u1+u2+…+un +…= (20)

знакопеременный ряд и пусть сходится ряд, составленный из абсолютных величин его членов

u1 │+│ u2 │+…+│ un │+…= un │. (21)

Тогда ряд (20) тоже сходится.

Доказательство. Рассмотрим вспомогательный ряд

(u1 +│ u1 │)+(u2 +│ u2 │)+…+(un +│ un │)+…= (un +│ un │). (22)

Очевидно, 0≤ un +│ un │≤2│ u n│ при всех n =1, 2, …. Ряд (21) сходится по условию, поэтому сходится ряд 2│ un │, тогда по признаку сравнения сходится ряд (22). Ряд (20) представляет собой разность двух сходящихся рядов (22) и (21), поэтому он тоже сходится. Теорема доказана.

Замечание.

Обратное утверждение неверно. Если данный ряд сходится, то ряд, составленный из абсолютных величин его членов, может и расходиться.

Например, ряд сходится по признаку Лейбница, а ряд расходится (это гармонический ряд).

 







Дата добавления: 2015-08-30; просмотров: 794. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...


Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

БИОХИМИЯ ТКАНЕЙ ЗУБА В составе зуба выделяют минерализованные и неминерализованные ткани...

Типология суицида. Феномен суицида (самоубийство или попытка самоубийства) чаще всего связывается с представлением о психологическом кризисе личности...

ОСНОВНЫЕ ТИПЫ МОЗГА ПОЗВОНОЧНЫХ Ихтиопсидный тип мозга характерен для низших позвоночных - рыб и амфибий...

Разработка товарной и ценовой стратегии фирмы на российском рынке хлебопродуктов В начале 1994 г. английская фирма МОНО совместно с бельгийской ПЮРАТОС приняла решение о начале совместного проекта на российском рынке. Эти фирмы ведут деятельность в сопредельных сферах производства хлебопродуктов. МОНО – крупнейший в Великобритании...

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЦЕНТРА ТЯЖЕСТИ ПЛОСКОЙ ФИГУРЫ Сила, с которой тело притягивается к Земле, называется силой тяжести...

СПИД: морально-этические проблемы Среди тысяч заболеваний совершенно особое, даже исключительное, место занимает ВИЧ-инфекция...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия