Уравнение в точных производных.

Рассмотрим уравнения вида

, (1)

левые части которых являются точными производными от некоторой функции , т.е.

.

Такие уравнения называются уравнениями в точных производных. Из последнего равенства следует, что соотношение

является первым интегралом уравнения (1) - уравнением (n-1) - го порядка относительно искомой функции. Таким образом, уравнение в точных производных допускают понижение порядка на единицу.

Пример 5. Решить уравнение .

Решение.

Имеем

,

откуда следует, что

,

или

.

Это линейное уравнение первого порядка, и его общее решение имеет вид

.

27 Линейные однородные уравнения. Определения и общие свойства.

Используя свойства линейного дифференциального оператора, сформулируем свойство решений линейного дифференциального уравнения (4), которое дает ключ к пониманию структуры (устройства) общего решения.

Если h(x) и g(x) - решения линейного однородного уравнения (4), то для любых констант С₁ и С₂ функция j(х) = С₁h(x) + С₂g(x) - решение уравнения (4).

Известно, что общее решение уравнения n-го порядка содержит n произвольных констант. В связи с этим возникают следующие вопросы. Можно ли найти такие n решений j₁(х), j₂(х), ..., j_n(х), что функция

j(х) = , (5)

где С_i (i = 1, 2, ..., n) - константы, будет общим решением линейного однородного уравнения (4)? Какими свойствами должны обладать функции j_i(х), чтобы составленная из них по формуле (5) функция являлась общим решением?

На основании свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений можно сделать вывод, что множество всех решений данного уравнения образует линейное пространство. Известно, что в любом линейном пространстве каждый элемент является линейной комбинацией базиса.

Введем понятия линейной зависимой и линейной независимой системы функций.