Править]Свойства

1. Линейность: ;

2. Аддитивность: ;

3. При изменении ориентации поверхности, поверхностный интеграл меняет знак.

 

20 Вычисление поверхностного интеграла

Вычисление поверхностного интеграла второго рода. Пусть поверхность взаимно однозначно проецируется в область на плоскости Оху. В этом случае имеет одинаковый знак во всех точках поверхности. Именно, , если рассматривается верхняя сторона поверхности, и , если рассматривается нижняя сторона. Поэтому для верхней стороны все слагаемые в интегральной сумме должны браться со знаком "+", и сумма будет иметь вид . Если поверхность задана уравнением , , то эта сумма равна . В последней сумме легко увидеть интегральную сумму для двойного интеграла . Переход к пределу при (при этом и ) даст

. Напомню, что эта формула получена для верхней стороны поверхности. Если выбрана нижняя сторона, то все слагаемые в интегральной сумме должны браться со знаком "-", и интегральная сумма будет иметь вид . Рассуждая, как и для верхней стороны, получим, что в этом случае . Окончательно, , где знак "+" берётся для верхней стороны поверхности, знак "-" - для нижней стороны.

Аналогично изложенному, для других интегралов: , если поверхность однозначно проецируется в область на плоскости Oyz, при этом знак "+" берётся для "передней" стороны поверхности (где ), для "задней" стороны, где , берётся знак "-"; , если поверхность однозначно проецируется в область на плоскость Oхz, знак "+" берётся для "правой" стороны поверхности (где ), для "левой" стороны, где , берётся знак "-". Как и для поверхностного интеграла первого рода, если проецирование не взаимно однозначно, поверхность разбивается на части, которые проецируются однозначно.

Примеры. 1. Вычислить , s - часть поверхности цилиндра y = , заключенная между плоскостями x=0, x=8, z=0, z=3. Сторона поверхности выбирается так, чтобы нормаль образовывала острый угол с осью Oх.

Решение: Определяем знаки направляющих косинусов нормали cosa>0, cosb<0, cosg=0. Поэтому

, где

Dyz={(y,z): 0£ y £16, 0 £ z £ 3}, Dxz={(x,z): 0 £ x £ 8, 0 £ z £ 3} - проекции s на плоскости Oyz и Oxz соответственно. Проекция поверхности sна плоскость Oxy вырождается в линию - параболу y= , cosg=0, поэтому интеграл по Dxy в данном случае отсутствует. Вычислим отдельно интегралы по Dyz и Dxz, выражая x(y,z) и y(x,z) из уравнения поверхности s: x(y,z)=2 , y(x,z)= .

= = dy=328, = = dx=928. Окончательно I = 328 - 928 = - 600.

2. Вычислить , где s - часть плоскости , ограниченная координатными плоскостями x=0, у=0, z=0. Сторона поверхности выбирается так, чтобы нормаль образовывала острый угол с осью Oz.

Решение. Из двух направлений нормали к s мы должны выбрать такое, для которого коэффициент при орте (т.е. ) положителен, поэтому выбираем знак "-", тогда . В соответствии со знаками направляющих косинусов, . Вычисляем эти интегралы.

.

.

. Окончательно,

В заключение напомню, что вычисление поверхностного интеграла второго рода всегда можно свести к вычислению поверхностного интеграла первого рода. Так, в последнем примере подынтегральное выражение равно , где , . Поэтому , и, проектируя s на плоскость Оху , получим

.

 

24 Однородные уравнения первого порядка.

Определение однородного дифференциального уравнения Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если правая часть удовлетворяет соотношению для всех значений t. Другими словами, правая часть должна являться однородной функцией нулевого порядка по отношению к переменным x и y: Однородное дифференциальное уравнение можно также записать в виде или через дифференциалы: где P (x,y) и Q (x,y) − однородные функции одинакового порядка. Определение однородной функции Функция P (x,y) называется однородной функцией порядка n, если для всех t > 0 справедливо следующее соотношение: Решение однородных дифференциальных уравнений Однородное дифференциальное уравнение можно решить с помощью подстановки y = ux, которая преобразует однородное уравнение в уравнение с разделяющимися переменными. Дифференциальное уравнение вида преобразуется в уравнение с разделяющимися переменными посредством переноса начала системы координат в точку пересечения прямых линий, заданных в уравнении. Если указанные прямые параллельны, то дифференциальное уравнение сводится к уравнению с разделяющимися переменными путем замены переменной:

Пример 1

Решить дифференциальное уравнение . Решение. Нетрудно заметить, что многочлены P (x,y) и Q (x,y), соответственно, при dx и dy, являются однородными функциями первого порядка. Поэтому, данное дифференциальное уравнение также будет однородным. Положим y = ux, где u − некоторая новая функция, зависящая от x. Тогда Подставляя это в дифференциальное уравнение, получаем Следовательно, Разделим обе части уравнения на x: Выполняя деление x, мы могли потерять решение x = 0. Прямая подстановка показывает, что x = 0действительно является одним из решений нашего уравнения. Интегрируем последнее выражение: где C − постоянная интегрирования. Возвращаясь к старой переменной y, можно записать: Таким образом, уравнение имеет два решения:

 

 

26 Некоторые уравнения, допускающие понижение порядка