Свободные колебания с вязким сопротивлением.

Существуют устройства (демпферы), которые создают силу пропорциональную относительной скорости (рис.36). Коэффициент пропорциональности называется коэффициентом демпфирования или коэффициентом вязкого сопротивления.

Рис.36

 

Дифференциальное уравнение движения точки с массой m, закрепленной на упругом элементе и демпфере имеет вид:

или , , .

Начальные условия имеют вид: , , .

Характеристическое уравнение имеет вид: .

Корни характеристического уравнения равны:

Рассмотрим возможные решения:

1-й случай , ,

Решение имеет вид:

, - условная амплитуда затухающих колебаний;

Рис.37

 

- круговая или циклическая частота затухающих колебаний. Измеряется в рад/сек.

- фазовый угол (или просто фаза).

- период затухающих колебаний (рис.37).

- частота колебаний (1 колеб/cек=1 Гц)

- декремент колебаний.

- логарифмический декремент колебаний.

Материальная точка совершает гармонические колебания с частотой и амплитудой, величина которой все время убывает.

Движение изображающей точки на фазовой плоскости показано на рис. 38.

Рис.38

 

 

2-й случай , ,

Решение имеет вид:

Материальная точка совершает затухающее неколебательное движение (рис.39).

Рис.39

 

3-й случай , (два одинаковых корня)

Решение имеет вид:

Материальная точка так же совершает затухающее неколебательное движение (рис.39).