Ре­ше­ние. 13 страница

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку по­ка­за­те­ли мак­си­маль­ны, они равны 5. Под­ста­вим зна­че­ния в фор­му­лу:

 

 

Ответ:35.

Ответ: 35

4. B 12. На­хо­дя­щий­ся в воде во­до­лаз­ный ко­ло­кол, со­дер­жа­щий моля воз­ду­ха при дав­ле­нии ат­мо­сфе­ры, мед­лен­но опус­ка­ют на дно водоeма. При этом про­ис­хо­дит изо­тер­ми­че­ское сжа­тие воз­ду­ха. Ра­бо­та, со­вер­ша­е­мая водой при сжа­тии воз­ду­ха, опре­де­ля­ет­ся вы­ра­же­ни­ем (Дж), где – по­сто­ян­ная, – тем­пе­ра­ту­ра воз­ду­ха, (атм) – на­чаль­ное дав­ле­ние, а (атм) – ко­неч­ное дав­ле­ние воз­ду­ха в ко­ло­ко­ле. До ка­ко­го наи­боль­ше­го дав­ле­ния можно сжать воз­дух в ко­ло­ко­ле, если при сжа­тии воз­ду­ха со­вер­ша­ет­ся ра­бо­та не более чем 6900 Дж? Ответ при­ве­ди­те в ат­мо­сфе­рах.

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства при за­дан­ных зна­че­ни­ях по­сто­ян­ной , тем­пе­ра­ту­ры воз­ду­ха К, на­чаль­но­го дав­ле­ния атм и ко­ли­че­ства воз­ду­ха моль:

 

атм.

Ответ: 6.

Ответ: 6

5. B 12. Урав­не­ние про­цес­са, в ко­то­ром участ­во­вал газ, за­пи­сы­ва­ет­ся в виде , где (Па) – дав­ле­ние в газе, – объeм газа в ку­би­че­ских мет­рах, a – по­ло­жи­тель­ная кон­стан­та. При каком наи­мень­шем зна­че­нии кон­стан­ты a умень­ше­ние вдвое раз объeма газа, участ­ву­ю­ще­го в этом про­цес­се, при­во­дит к уве­ли­че­нию дав­ле­ния не менее, чем в 4 раза?

Ре­ше­ние.

Пусть и – на­чаль­ные, а и – ко­неч­ные зна­че­ния объ­е­ма и дав­ле­ния газа, со­от­вет­ствен­но. За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства , при­чем :

 

.

Ответ: 2.

Ответ: 2

6. B 12. Ав­то­мо­биль, дви­жу­щий­ся в на­чаль­ный мо­мент вре­ме­ни со ско­ро­стью м/с, начал тор­мо­же­ние с по­сто­ян­ным уско­ре­ни­ем м/с². За – се­кунд после на­ча­ла тор­мо­же­ния он прошёл путь (м). Опре­де­ли­те время, про­шед­шее от мо­мен­та на­ча­ла тор­мо­же­ния, если из­вест­но, что за это время ав­то­мо­биль про­ехал 30 мет­ров. Ответ вы­ра­зи­те в се­кун­дах.

Ре­ше­ние.

Най­дем, за какое время , про­шед­шее от мо­мен­та на­ча­ла тор­мо­же­ния, ав­то­мо­биль про­едет 30 мет­ров:

 

.

Зна­чит, через 2 се­кун­ды после на­ча­ла тор­мо­же­ния ав­то­мо­биль про­едет 30 мет­ров.

 

Ответ: 2.

Ответ: 2

7. B 12. Для по­лу­че­ния на экра­не уве­ли­чен­но­го изоб­ра­же­ния лам­поч­ки в ла­бо­ра­то­рии ис­поль­зу­ет­ся со­би­ра­ю­щая линза с глав­ным фо­кус­ным рас­сто­я­ни­ем см. Рас­сто­я­ние от линзы до лам­поч­ки может из­ме­нять­ся в пре­де­лах от 30 до 50 см, а рас­сто­я­ние от линзы до экра­на – в пре­де­лах от 150 до 180 см. Изоб­ра­же­ние на экра­не будет чет­ким, если вы­пол­не­но со­от­но­ше­ние . Ука­жи­те, на каком наи­мень­шем рас­сто­я­нии от линзы можно по­ме­стить лам­поч­ку, чтобы еe изоб­ра­же­ние на экра­не было чeтким. Ответ вы­ра­зи­те в сан­ти­мет­рах.

Ре­ше­ние.

По­сколь­ку имеем:

 

.

Наи­мень­ше­му воз­мож­но­му зна­че­нию со­от­вет­ству­ет наи­боль­шее зна­че­ние левой части по­лу­чен­но­го ра­вен­ства, и, со­от­вет­ствен­но, наи­боль­шее воз­мож­ное зна­че­ние пра­вой части ра­вен­ства. Раз­ность в пра­вой части ра­вен­ства до­сти­га­ет наи­боль­ше­го зна­че­ния при наи­мень­шем зна­че­нии вы­чи­та­е­мо­го , ко­то­рое до­сти­га­ет­ся при наи­боль­шем воз­мож­ном зна­че­нии зна­ме­на­те­ля . По­это­му , от­ку­да

 

см

По усло­вию лам­поч­ка долж­на на­хо­дить­ся на рас­сто­я­нии от 30 до 50 см от линзы. Най­ден­ное зна­че­ние см удо­вле­тво­ря­ет усло­вию.

 

Ответ: 36.

Ответ: 36

8. B 12. Сила тока в цепи (в ам­пе­рах) опре­де­ля­ет­ся на­пря­же­ни­ем в цепи и со­про­тив­ле­ни­ем элек­тро­при­бо­ра по за­ко­ну Ома: , где – на­пря­же­ние в воль­тах, – со­про­тив­ле­ние элек­тро­при­бо­ра в омах. В элек­тро­сеть включeн предо­хра­ни­тель, ко­то­рый пла­вит­ся, если сила тока пре­вы­ша­ет 4 А. Опре­де­ли­те, какое ми­ни­маль­ное со­про­тив­ле­ние долж­но быть у элек­тро­при­бо­ра, под­клю­ча­е­мо­го к ро­зет­ке в 220 вольт, чтобы сеть про­дол­жа­ла ра­бо­тать. Ответ вы­ра­зи­те в Омах.

Ре­ше­ние.

За­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства А при из­вест­ном зна­че­нии на­пря­же­ния В:

 

Ом.

Ответ: 55.

Ответ: 55

9. B 12. Уста­нов­ка для де­мон­стра­ции адиа­ба­ти­че­ско­го сжа­тия пред­став­ля­ет собой сосуд с порш­нем, резко сжи­ма­ю­щим газ. При этом объeм и дав­ле­ние свя­за­ны со­от­но­ше­ни­ем , где (атм.) – дав­ле­ние в газе, – объeм газа в лит­рах. Из­на­чаль­но объeм газа равен 1,6 л, а его дав­ле­ние равно одной ат­мо­сфе­ре. В со­от­вет­ствии с тех­ни­че­ски­ми ха­рак­те­ри­сти­ка­ми пор­шень на­со­са вы­дер­жи­ва­ет дав­ле­ние не более 128 ат­мо­сфер. Опре­де­ли­те, до ка­ко­го ми­ни­маль­но­го объeма можно сжать газ. Ответ вы­ра­зи­те в лит­рах.

Ре­ше­ние.

пусть и - на­чаль­ные, а и - ко­неч­ные зна­че­ния объ­е­ма и дав­ле­ния газа, со­от­вет­ствен­но. Тогда за­да­ча сво­дит­ся к ре­ше­нию не­ра­вен­ства

 

, где атм., л., атм.

Тогда

.

Ответ: 0,05.

Ответ: 0,05

10. B 12. Ам­пли­ту­да ко­ле­ба­ний ма­ят­ни­ка за­ви­сит от ча­сто­ты вы­нуж­да­ю­щей силы, опре­де­ля­е­мой по фор­му­ле , где – ча­сто­та вы­нуж­да­ю­щей силы (в ), – по­сто­ян­ный па­ра­метр, – ре­зо­нанс­ная ча­сто­та. Най­ди­те мак­си­маль­ную ча­сто­ту , мень­шую ре­зо­нанс­ной, для ко­то­рой ам­пли­ту­да ко­ле­ба­ний пре­вос­хо­дит ве­ли­чи­ну не более чем на . Ответ вы­ра­зи­те в .

 

 

Вариант № 3712875

1. B 13. Ра­ди­у­сы трех шаров равны 6, 8 и 10. Най­ди­те ра­ди­ус шара, объем ко­то­ро­го равен сумме их объ­е­мов.

Ре­ше­ние.

Объем та­ко­го шара

 

,

от­ку­да по­лу­чим, что .

Ответ: 12.

Ответ: 12

2. B 13. Най­ди­те объем части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те .

Ре­ше­ние.

Объем дан­ной части ци­лин­дра равен

 

.

Ответ: 3,75.

Ответ: 3,75

3. B 13. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 3, вы­со­та равна 4. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са, де­лен­ную на .

Ре­ше­ние.

Най­дем об­ра­зу­ю­щую по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: . Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са

 

.

Ответ: 24.

Ответ: 24

4. B 13. Объем шара равен 288 . Най­ди­те пло­щадь его по­верх­но­сти, де­лен­ную на .

Ре­ше­ние.

Объем шара ра­ди­у­са вы­чис­ля­ет­ся по фор­му­ле , от­ку­да

 

.

Пло­щадь его по­верх­но­сти:

.

Ответ: 144.

Ответ: 144

5. B 13. Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 60. Пло­щадь одной его грани равна 12. Най­ди­те ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да, пер­пен­ди­ку­ляр­ное этой грани.

Ре­ше­ние.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен , где — пло­щадь грани, а — вы­со­та пер­пен­ди­ку­ляр­но­го к ней ребра. Тогда

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

6. B 13. Ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 1, 2, 3. Най­ди­те его пло­щадь по­верх­но­сти.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь по­верх­но­сти пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равна удво­ен­ной сумме по­пар­ных про­из­ве­де­ний его из­ме­ре­ний

 

.

Ответ: 22.

Ответ: 22

7. B 13. Ос­но­ва­ни­ем пря­мой тре­уголь­ной приз­мы слу­жит пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник с ка­те­та­ми 3 и 5. Объем приз­мы равен 30. Най­ди­те ее бо­ко­вое ребро.

Ре­ше­ние.

Объем пря­мой приз­мы равен где – пло­щадь ос­но­ва­ния, а – бо­ко­вое ребро. Тогда длина ее бо­ко­во­го ребра равна

 

.

Ответ: 4.

Ответ: 4

8. B 13. Конус опи­сан около пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды со сто­ро­ной ос­но­ва­ния 4 и вы­со­той 6. Най­ди­те его объем, де­лен­ный на .

Ре­ше­ние.

Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен по­ло­ви­не диа­го­на­ли квад­ра­та : . Тогда объем ко­ну­са, де­лен­ный на :

 

Ответ: 16.

Ответ: 16

9. B 13. Около куба с реб­ром опи­сан шар. Най­ди­те объем этого шара, де­лен­ный на .

Ре­ше­ние.

Пусть длина ребра куба равна а, а его диа­го­наль равна d. Ра­ди­ус опи­сан­но­го шара R равен по­ло­ви­не диа­го­на­ли куба:

 

.

По­это­му объем шара равен

Тогда

Ответ: 4,5.

Ответ: 4,5

B 13

.

 

Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, опи­сан­ной около ци­лин­дра, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен , а вы­со­та равна 2.

Вариант № 3712978

1. B 13. Ра­ди­у­сы двух шаров равны 6, 8. Най­ди­те ра­ди­ус шара, пло­щадь по­верх­но­сти ко­то­ро­го равна сумме пло­ща­дей их по­верх­но­стей.

Ре­ше­ние.

Из усло­вия най­дем, что ра­ди­ус та­ко­го шара

 

.

Ответ: 10.

Ответ: 10

2. B 13. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все ребра равны 1. Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник :

 

Оста­лось найти диа­го­наль ос­но­ва­ния. В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке углы между сто­ро­на­ми равны , тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка АВС имеем:

Так как — ост­рый, он равен

Ответ: 60.

Ответ: 60

3. B 13. Вы­со­та ко­ну­са равна 6, об­ра­зу­ю­щая равна 10. Най­ди­те его объем, де­лен­ный на .

Ре­ше­ние.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем, что ра­ди­ус ос­но­ва­ния равен . Тогда объем ко­ну­са, де­лен­ный на :

 

Ответ: 128.

Ответ: 128

4. B 13. В пра­виль­ной четырёхуголь­ной пи­ра­ми­де с ос­но­ва­ни­ем бо­ко­вое ребро равно 5, сто­ро­на ос­но­ва­ния равна . Най­ди­те объём пи­ра­ми­ды.

Ре­ше­ние.

В ос­но­ва­нии пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды лежит квад­рат, вер­ши­на пи­ра­ми­ды про­еци­ру­ет­ся в его центр. Вве­дем обо­зна­че­ния, как по­ка­за­но на ри­сун­ке. Диа­го­на­ли квад­ра­та пер­пен­ди­ку­ляр­ны друг другу, тре­уголь­ник пря­мо­уголь­ный и рав­но­бед­рен­ный. В нем

 

 

Тогда из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка на­хо­дим, что

От­ку­да для объ­е­ма пи­ра­ми­ды имеем:

 

 

Ответ: 24.

Ответ: 24

5. B 13. Сто­ро­ны ос­но­ва­ния пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­ды равны 10, бо­ко­вые ребра равны 13. Най­ди­те пло­щадь по­верх­но­сти этой пи­ра­ми­ды.

Ре­ше­ние.

Пло­щадь пи­ра­ми­ды равна

 

.

Пло­щадь бо­ко­вой сто­ро­ны пи­ра­ми­ды . Вы­со­ту тре­уголь­ни­ка най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: . Тогда пло­щадь по­верх­но­сти пи­ра­ми­ды

 

.

Ответ: 340.

Ответ: 340

6. B 13. Най­ди­те угол пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, для ко­то­ро­го , , . Дайте ответ в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

В пря­мо­уголь­ни­ке от­ре­зок яв­ля­ет­ся диа­го­на­лью, По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

Пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник рав­но­бед­рен­ный: , зна­чит, его ост­рые углы равны

Ответ: 45.

Ответ: 45

7. B 13. Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна 4, а угол между бо­ко­вой гра­нью и ос­но­ва­ни­ем равен 45 . Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Ре­ше­ние.

Вер­ши­на пра­виль­ной пи­ра­ми­ды про­еци­ру­ет­ся в центр ее ос­но­ва­ния. В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке со сто­ро­ной рас­сто­я­ние от его цен­тра до сто­ро­ны равно ра­ди­у­су впи­сан­ной окруж­но­сти, ко­то­рый равен . Так как угол между бо­ко­вой гра­нью и ос­но­ва­ни­ем равен 45°, вы­со­та пи­ра­ми­ды также равна . Тогда имеем:

 

.

Ответ: 48.

Ответ: 48

8. B 13. Най­ди­те объем части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те .

Ре­ше­ние.

Объем дан­ной фи­гу­ры равен раз­но­сти объ­е­мов ци­лин­дра с ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния 5 и вы­со­той 5 и ци­лин­дра с той же вы­со­той и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния 2:

 

.

Ответ: 105.

Ответ: 105

9. B 13. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де вы­со­та равна 6, бо­ко­вое ребро равно 10. Най­ди­те ее объем.

Ре­ше­ние.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем, что по­ло­ви­на диа­го­на­ли ос­но­ва­ния равна 8. Тогда диа­го­наль ос­но­ва­ния равна 16, а сто­ро­на – и пло­щадь

 

Тогда объем пи­ра­ми­ды

Ответ: 256.

Ответ: 256

10. B 13. Най­ди­те вы­со­ту пра­виль­ной тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды, сто­ро­ны ос­но­ва­ния ко­то­рой равны 2, а объем равен .