Решение. 15 страница
5. B 13. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 1. Найдите площадь боковой поверхности призмы. Решение. Высота призмы равна высоте цилиндра, а сторона ее основания равна диаметру цилиндра. Тогда площадь боковой поверхности
. Ответ: 8. Ответ: 8 6. B 13. Три ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 4, 6, 9. Найдите ребро равновеликого ему куба. Решение. Объем куба равен объему параллелепипеда
Значит, ребро куба
Ответ: 6. Ответ: 6 7. B 13. В куб с ребром 3 вписан шар. Найдите объем этого шара, деленный на . Решение. Радиус вписанного в куб шара равен половине длины ребра: . Тогда объем шара
. Ответ: 4,5. Ответ: 4,5 8. B 13. В правильной четырехугольной пирамиде точка — центр основания, вершина, , Найдите боковое ребро . Решение. Рассмотрим треугольник . Он прямоугольный, т. к. — высота, она перпендикулярна основанию , а значит, и прямой Тогда по теореме Пифагора
Ответ: 5. Ответ: 5 9. B 13. Боковые ребра треугольной пирамиды взаимно перпендикулярны, каждое из них равно 3. Найдите объем пирамиды. Решение. Заметим, что
. Поскольку , далее имеем: . Ответ: 4,5. Ответ: 4,5 10. B 13. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 2. Решение. Сторона правильного треугольника выражается через радиус вписанной в него окружности как . Тогда площадь боковой поверхности призмы выражается формулой
. Ответ: 36. Ответ: 36 Вариант № 3713535 1. B 13. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда. Решение. Обозначим известные ребра за и , а неизвестное за . Площадь поверхности параллелепипеда выражается как
. Диагональ параллелепипеда находится как . Выразим : . Тогда площадь поверхности Ответ: 64. Ответ: 64 2. B 13. Найдите площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы, описанной около цилиндра, радиус основания которого равен , а высота равна 2. Решение. Сторона правильного шестиугольника выражается через радиус вписанной в него окружности как . Тогда площадь боковой поверхности призмы выражается формулой
. Ответ: 24. Ответ: 24 3. B 13. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 60. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани. Решение. Объем прямоугольного параллелепипеда равен , где — площадь грани, а — высота перпендикулярного к ней ребра. Тогда
Ответ: 5. Ответ: 5 4. B 13. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол . Ответ дайте в градусах. Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник :
Осталось найти диагональ основания. В правильном шестиугольнике углы между сторонами равны , тогда по теореме косинусов для треугольника АВС имеем: Так как — острый, он равен Ответ: 60. Ответ: 60 5. B 13. Куб вписан в шар радиуса . Найдите объем куба.
Решение. Диаметр шара, описанного вокруг куба, совпадает с его диагональю и вдвое больше радиуса. Поэтому диагональ куба равна . Если ребро куба равно , то диагональ куба дается формулой . Следовательно, ребро куба равно 2, а его объем равен 8. Ответ: 8. Ответ: 8 6. B 13. Найдите площадь поверхности правильной четырехугольной пирамиды, стороны основания которой равны 6 и высота равна 4. Решение. Площадь поверхности складывается из площади основания и площади четырех боковых граней: . Апофему найдем по теореме Пифагора: . Тогда площадь поверхности пирамиды:
. Ответ: 96. Ответ: 96 7. B 13. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Объем параллелепипеда равен 6. Найдите площадь его поверхности. Решение. Найдем третье ребро из выражения для объема:
. Площадь поверхности параллелепипеда
. Ответ: 22. Ответ: 22 8. B 13. Радиусы двух шаров равны 6, 8. Найдите радиус шара, площадь поверхности которого равна сумме площадей их поверхностей. Решение. Из условия найдем, что радиус такого шара
. Ответ: 10. Ответ: 10 9. B 13. Стороны основания правильной четырехугольной пирамиды равны 10, боковые ребра равны 13. Найдите площадь поверхности этой пирамиды. Решение. Площадь пирамиды равна . Площадь боковой стороны пирамиды . Высоту треугольника найдем по теореме Пифагора: . Тогда площадь поверхности пирамиды . Ответ: 340. Ответ: 340 10. B 13. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 94. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.
Вариант № 3713713 1. B 13. Через среднюю линию основания треугольной призмы, площадь боковой поверхности которой равна 24, проведена плоскость, параллельная боковому ребру. Найдите площадь боковой поверхности отсеченной треугольной призмы. Решение. Площадь боковых граней отсеченной призмы вдвое меньше соответствующих площадей боковых граней исходной призмы. Поэтому площадь боковой поверхности отсеченной призмы вдвое меньше площади боковой поверхности исходной.
Ответ: 12. Ответ: 12 2. B 13. В прямоугольном параллелепипеде ребро , ребро , ребро . Точка — середина ребра Найдите площадь сечения, проходящего через точки и . Решение. Сечение пересекает параллельные грани по параллельным отрезкам. Поэтому четырехугольник — параллелограмм. Кроме того, ребро перпендикулярно граням и , поэтому углы и — прямые. Следовательно, сечение — прямоугольник.
Из прямоугольного треугольника по теореме Пифагора найдем
Тогда площадь прямоугольника равна:
Ответ:5. Ответ: 5 3. B 13. Найдите угол прямоугольного параллелепипеда, для которого =4, =3, =5. Дайте ответ в градусах. Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник По теореме Пифагора
Рассмотрим прямоугольный треугольник Так как = = то треугольник является равнобедренным, значит, углы при его основании равны по . Ответ: 45. Ответ: 45 4. B 13. В правильной шестиугольной призме все ребра равны 1. Найдите угол . Ответ дайте в градусах. Решение. Рассмотрим прямоугольный треугольник :
Осталось найти диагональ основания. В правильном шестиугольнике углы между сторонами равны , тогда по теореме косинусов для треугольника АВС имеем: Так как — острый, он равен Ответ: 60. Ответ: 60 5. B 13. В правильной четырёхугольной пирамиде с основанием боковое ребро равно 5, сторона основания равна . Найдите объём пирамиды. Решение. В основании правильной четырехугольной пирамиды лежит квадрат, вершина пирамиды проецируется в его центр. Введем обозначения, как показано на рисунке. Диагонали квадрата перпендикулярны друг другу, треугольник прямоугольный и равнобедренный. В нем
Тогда из прямоугольного треугольника находим, что Откуда для объема пирамиды имеем:
Ответ: 24. Ответ: 24 6. B 13. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда. Решение. Обозначим известные ребра за и , а неизвестное за . Площадь поверхности параллелепипеда выражается как
. Диагональ параллелепипеда находится как . Выразим : . Тогда площадь поверхности Ответ: 64. Ответ: 64 7. B 13. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 . В ответе укажите . Решение. Объем конуса равен
, где – площадь основания, а – высота конуса. Высоту конуса найдем по свойству стороны прямоугольного треугольника, находящейся напротив угла в ° – она вдвое меньше гипотенузы, которой в данном случае является образующая конуса. Радиус основания найдем по теореме Пифагора:
. Тогда объем . Ответ: 1. Ответ: 1 8. B 13. В правильной четырехугольной пирамиде высота равна 6, боковое ребро равно 10. Найдите ее объем. Решение. По теореме Пифагора найдем, что половина диагонали основания равна 8. Тогда диагональ основания равна 16, а сторона – и площадь
Тогда объем пирамиды Ответ: 256. Ответ: 256 9. B 13. В правильной шестиугольной призме все ребра равны Найдите расстояние между точками и Решение. рассмотрим прямоугольный треугольник По теореме Пифагора:
— большая диагональ правильного шестиугольника, ее длина равна его удвоенной стороне. Поэтому . Поскольку имеем: Ответ: 5.
Ответ: 5 10. B 13. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ. Вариант № 3713751 1. B 13. Основанием прямой треугольной призмы служит прямоугольный треугольник с катетами 3 и 5. Объем призмы равен 30. Найдите ее боковое ребро. Решение. Объем прямой призмы равен где – площадь основания, а – боковое ребро. Тогда длина ее бокового ребра равна
. Ответ: 4. Ответ: 4 2. B 13. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30 . В ответе укажите . Решение. Объем конуса равен
, где – площадь основания, а – высота конуса. Высоту конуса найдем по свойству стороны прямоугольного треугольника, находящейся напротив угла в ° – она вдвое меньше гипотенузы, которой в данном случае является образующая конуса. Радиус основания найдем по теореме Пифагора:
|