Ре­ше­ние. 17 страница

Ответ: 7.

Ответ: 7

6. B 13. Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед опи­сан около еди­нич­ной сферы. Най­ди­те его пло­щадь по­верх­но­сти.

Ре­ше­ние.

Вы­со­та и сто­ро­на та­ко­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равны диа­мет­ру сферы, то есть это куб со сто­ро­ной 2. Пло­щадь по­верх­но­сти куба со сто­ро­ной :

 

Ответ: 24.

Ответ: 24

7. B 13. В куб с реб­ром 3 впи­сан шар. Най­ди­те объем этого шара, де­лен­ный на .

Ре­ше­ние.

Ра­ди­ус впи­сан­но­го в куб шара равен по­ло­ви­не длины ребра: . Тогда объем шара

 

.

Ответ: 4,5.

Ответ: 4,5

8. B 13. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все ребра равны 1. Най­ди­те угол . Ответ дайте в гра­ду­сах.

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник :

 

Оста­лось найти диа­го­наль ос­но­ва­ния. В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке углы между сто­ро­на­ми равны , тогда по тео­ре­ме ко­си­ну­сов для тре­уголь­ни­ка АВС имеем:

Так как — ост­рый, он равен

Ответ: 60.

Ответ: 60

9. B 13. Три ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 4, 6, 9. Най­ди­те ребро рав­но­ве­ли­ко­го ему куба.

Ре­ше­ние.

Объем куба равен объ­е­му па­рал­ле­ле­пи­пе­да

 

Зна­чит, ребро куба

 

Ответ: 6.

Ответ: 6

10. B 13. Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 24. Одно из его ребер равно 3. Най­ди­те пло­щадь грани па­рал­ле­ле­пи­пе­да, пер­пен­ди­ку­ляр­ной этому ребру.

Вариант № 3714196

1. B 13. Около куба с реб­ром опи­сан шар. Най­ди­те объем этого шара, де­лен­ный на .

Ре­ше­ние.

Пусть длина ребра куба равна а, а его диа­го­наль равна d. Ра­ди­ус опи­сан­но­го шара R равен по­ло­ви­не диа­го­на­ли куба:

 

.

По­это­му объем шара равен

Тогда

Ответ: 4,5.

Ответ: 4,5

2. B 13. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все ребра равны 1. Най­ди­те тан­генс угла

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник катет ко­то­ро­го яв­ля­ет­ся боль­шей диа­го­на­лью ос­но­ва­ния. Длина боль­шей диа­го­на­ли пра­виль­но­го ше­сти­уголь­ни­ка равна его удво­ен­ной сто­ро­не: . По­сколь­ку имеем:

Ответ: 2.

Ответ: 2

3. B 13. Най­ди­те объем V ко­ну­са, об­ра­зу­ю­щая ко­то­ро­го равна 2 и на­кло­не­на к плос­ко­сти ос­но­ва­ния под углом 30 . В от­ве­те ука­жи­те .

Ре­ше­ние.

Объем ко­ну­са равен

 

,

где – пло­щадь ос­но­ва­ния, а – вы­со­та ко­ну­са. Вы­со­ту ко­ну­са най­дем по свой­ству сто­ро­ны пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка, на­хо­дя­щей­ся на­про­тив угла в ° – она вдвое мень­ше ги­по­те­ну­зы, ко­то­рой в дан­ном слу­чае яв­ля­ет­ся об­ра­зу­ю­щая ко­ну­са. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния най­дем по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

 

.

Тогда объем

.

Ответ: 1.

Ответ: 1

4. B 13. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен 3, вы­со­та равна 4. Най­ди­те пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са, де­лен­ную на .

Ре­ше­ние.

Най­дем об­ра­зу­ю­щую по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: . Пло­щадь пол­ной по­верх­но­сти ко­ну­са

 

.

Ответ: 24.

Ответ: 24

5. B 13. Най­ди­те объем части ко­ну­са, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те .

Ре­ше­ние.

Объем дан­ной части ко­ну­са равен

 

.

Ответ: 607,5.

Ответ: 607,5

6. B 13. Диа­го­наль куба равна . Най­ди­те его объем.

Ре­ше­ние.

Диа­го­наль куба в раз боль­ше его ребра. По­это­му ребро куба равно

Тогда объем куба .

Ответ: 729.

Ответ: 729

7. B 13. Гра­нью па­рал­ле­ле­пи­пе­да яв­ля­ет­ся ромб со сто­ро­ной 1 и ост­рым углом 60 . Одно из ребер па­рал­ле­ле­пи­пе­да со­став­ля­ет с этой гра­нью угол в 60 и равно 2. Най­ди­те объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да.

Ре­ше­ние.

Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да , где – пло­щадь одной из гра­ней, а – длина ребра, со­став­ля­ю­ще­го с этой гра­нью угол . Пло­щадь ромба с ост­рым углом в равна двум пло­ща­дям рав­но­сто­рон­не­го тре­уголь­ни­ка. Вы­чис­лим объем:

 

.

Ответ: 1,5.

Ответ: 1,5

8. B 13. Ра­ди­у­сы двух шаров равны 6, 8. Най­ди­те ра­ди­ус шара, пло­щадь по­верх­но­сти ко­то­ро­го равна сумме пло­ща­дей их по­верх­но­стей.

Ре­ше­ние.

Из усло­вия най­дем, что ра­ди­ус та­ко­го шара

 

.

Ответ: 10.

Ответ: 10

B 13.

В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де из­вест­но, что , , . Най­ди­те длину ребра .

Ре­ше­ние.

Най­дем диа­го­наль пря­мо­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра:

 

 

.

Рас­смот­рим пря­мо­уголь­ный тре­уголь­ник . По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

 

.

 

Ответ: 1.

Ответ: 1

10. B 13. Сто­ро­на ос­но­ва­ния пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной пи­ра­ми­ды равна 2, бо­ко­вое ребро равно 4. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Ре­ше­ние.

В пра­виль­ном ше­сти­уголь­ни­ке сто­ро­на равна ра­ди­у­су опи­сан­ной окруж­но­сти, по­это­му най­дем вы­со­ту пи­ра­ми­ды по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра: . Пло­щадь ос­но­ва­ния

 

.

Тогда объем пи­ра­ми­ды

 

.

Ответ: 12.

Ответ: 12

Вариант № 3714293

1. B 13. Бо­ко­вые ребра тре­уголь­ной пи­ра­ми­ды вза­им­но пер­пен­ди­ку­ляр­ны, каж­дое из них равно 3. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды.

Ре­ше­ние.

За­ме­тим, что

 

.

По­сколь­ку , далее имеем:

.

Ответ: 4,5.

Ответ: 4,5

2. B 13. Най­ди­те объем части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те .

Ре­ше­ние.

Объем дан­ной фи­гу­ры равен раз­но­сти объ­е­мов ци­лин­дра с ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния 5 и вы­со­той 5 и ци­лин­дра с той же вы­со­той и ра­ди­у­сом ос­но­ва­ния 2:

 

.

Ответ: 105.

Ответ: 105

3. B 13. Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 24. Одно из его ребер равно 3. Най­ди­те пло­щадь грани па­рал­ле­ле­пи­пе­да, пер­пен­ди­ку­ляр­ной этому ребру.

Ре­ше­ние.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен , где – пло­щадь грани, а – вы­со­та пер­пен­ди­ку­ляр­но­го к ней ребра. Тогда пло­щадь грани

 

.

Ответ: 8.

Ответ: 8

4. B 13. В пря­мо­уголь­ном па­рал­ле­ле­пи­пе­де ребро , ребро , ребро . Точка — се­ре­ди­на ребра Най­ди­те пло­щадь се­че­ния, про­хо­дя­ще­го через точки и .

Ре­ше­ние.

Се­че­ние пе­ре­се­ка­ет па­рал­лель­ные грани по па­рал­лель­ным от­рез­кам. По­это­му че­ты­рех­уголь­ник — па­рал­ле­ло­грамм. Кроме того, ребро пер­пен­ди­ку­ляр­но гра­ням и , по­это­му углы и — пря­мые. Сле­до­ва­тель­но, се­че­ние — пря­мо­уголь­ник.

 

Из пря­мо­уголь­но­го тре­уголь­ни­ка по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем

 

 

Тогда пло­щадь пря­мо­уголь­ни­ка равна:

 

 

Ответ:5.

Ответ: 5

5. B 13. Най­ди­те объем части ци­лин­дра, изоб­ра­жен­ной на ри­сун­ке. В от­ве­те ука­жи­те .

Ре­ше­ние.

Объем дан­ной части ци­лин­дра равен

 

.

Ответ: 3,75.

Ответ: 3,75

6. B 13. Диа­го­наль куба равна . Най­ди­те его объем.

Ре­ше­ние.

Диа­го­наль куба в раз боль­ше его ребра. По­это­му ребро куба равно

Тогда объем куба .

Ответ: 729.

Ответ: 729

7. B 13.

Конус впи­сан в шар. Ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­ну­са равен ра­ди­у­су шара. Объем ко­ну­са равен 6. Най­ди­те объем шара.

 

Ре­ше­ние.

 

..

 

Ответ: 24.

Ответ: 24

8. B 13. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де точка — центр ос­но­ва­ния, вер­ши­на, , . Най­ди­те длину от­рез­ка .

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник . Он пря­мо­уголь­ный, т. к. — вы­со­та, она пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию , а зна­чит и пря­мой . Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

.

Ответ: 4.

 

Ответ: 4

9. B 13. Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 60. Пло­щадь одной его грани равна 12. Най­ди­те ребро па­рал­ле­ле­пи­пе­да, пер­пен­ди­ку­ляр­ное этой грани.

Ре­ше­ние.

Объем пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен , где — пло­щадь грани, а — вы­со­та пер­пен­ди­ку­ляр­но­го к ней ребра. Тогда

 

Ответ: 5.

Ответ: 5

10. B 13. В тре­уголь­ной приз­ме две бо­ко­вые грани пер­пен­ди­ку­ляр­ны. Их общее ребро равно 10 и от­сто­ит от дру­гих бо­ко­вых ребер на 6 и 8. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти этой приз­мы.

Ре­ше­ние.

Для вы­чис­ле­ния бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы вос­поль­зу­ем­ся фор­му­лой, где – длина бо­ко­во­го ребра, а – пе­ри­метр пер­пен­ди­ку­ляр­но­го се­че­ния приз­мы:

 

.

Ответ: 240.

Ответ: 240

 

 

Вариант № 3714356

1. B 13. Два ребра пря­мо­уголь­но­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да, вы­хо­дя­щие из одной вер­ши­ны, равны 1, 2. Объем па­рал­ле­ле­пи­пе­да равен 6. Най­ди­те пло­щадь его по­верх­но­сти.

Ре­ше­ние.

Най­дем тре­тье ребро из вы­ра­же­ния для объ­е­ма:

 

.

Пло­щадь по­верх­но­сти па­рал­ле­ле­пи­пе­да

 

.

Ответ: 22.

Ответ: 22

2. B 13. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де точка — центр ос­но­ва­ния, вер­ши­на, , . Най­ди­те длину от­рез­ка .

Ре­ше­ние.

Рас­смот­рим тре­уголь­ник . Он пря­мо­уголь­ный: т. к. — вы­со­та, она пер­пен­ди­ку­ляр­на ос­но­ва­нию , а зна­чит и пря­мой . Тогда по тео­ре­ме Пи­фа­го­ра

 

.

Ответ: 6

3. B 13. Около куба с реб­ром опи­сан шар. Най­ди­те объем этого шара, де­лен­ный на .

Ре­ше­ние.

Пусть длина ребра куба равна а, а его диа­го­наль равна d. Ра­ди­ус опи­сан­но­го шара R равен по­ло­ви­не диа­го­на­ли куба:

 

.

По­это­му объем шара равен

Тогда

Ответ: 4,5.

Ответ: 4,5

4. B 13. Най­ди­те пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти пра­виль­ной тре­уголь­ной приз­мы, впи­сан­ной в ци­линдр, ра­ди­ус ос­но­ва­ния ко­то­ро­го равен , а вы­со­та равна 2.

Ре­ше­ние.

Сто­ро­на пра­виль­но­го тре­уголь­ни­ка вы­ра­жа­ет­ся через ра­ди­ус опи­сан­ной окруж­но­сти как . Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти приз­мы тогда равна

 

.

Ответ: 36.

Ответ: 36

5. B 13. В пра­виль­ной че­ты­рех­уголь­ной пи­ра­ми­де вы­со­та равна 6, бо­ко­вое ребро равно 10. Най­ди­те ее объем.

Ре­ше­ние.

По тео­ре­ме Пи­фа­го­ра най­дем, что по­ло­ви­на диа­го­на­ли ос­но­ва­ния равна 8. Тогда диа­го­наль ос­но­ва­ния равна 16, а сто­ро­на – и пло­щадь

 

Тогда объем пи­ра­ми­ды

Ответ: 256.

Ответ: 256

6. B 13. Най­ди­те объем пи­ра­ми­ды, вы­со­та ко­то­рой равна 6, а ос­но­ва­ние – пря­мо­уголь­ник со сто­ро­на­ми 3 и 4.

Ре­ше­ние.

Объем пи­ра­ми­ды с пло­ща­дью ос­но­ва­ния и вы­со­той равен

 

.

Ответ: 24.

Ответ: 24

7. B 13. Пря­мо­уголь­ный па­рал­ле­ле­пи­пед опи­сан около еди­нич­ной сферы. Най­ди­те его пло­щадь по­верх­но­сти.

Ре­ше­ние.

Вы­со­та и сто­ро­на та­ко­го па­рал­ле­ле­пи­пе­да равны диа­мет­ру сферы, то есть это куб со сто­ро­ной 2. Пло­щадь по­верх­но­сти куба со сто­ро­ной :

 

Ответ: 24.

Ответ: 24

8. B 13. В пра­виль­ной ше­сти­уголь­ной приз­ме все ребра равны 1. Най­ди­те тан­генс угла