Задачі підвищеної складності

Задача № 1. Функція розподілу F (X) випадкової величини X записується у вигляді:

за умови x ₀ > 0. Знайти функцію розподілу ймовірності p (x) та побудувати графіки функцій F (X) та p (x) для x ₀ = 1, x ₀ = 2, x ₀ = 3, x ₀ = 5 та x ₀ = 10. Визначити математичне сподівання, дисперсію та се­ред­нє квадратичне відхилення випадкової величини X.

Задача № 2. Відомо, що густина ймовірності для амплітуди A бокового хитання ко­раб­ля описується законом Релея:

Знайти закон розподілу ймовірності F (A), а також математичне сподівання, дисперсію та се­ред­нє квадратичне відхилення для випад­кового про­цесу, який описується законом Релея. Побу­ду­­вати графіки функції густини ймовірності f (a) та функції розподілу F (A), вважаючи, що σ = 0,001. Визначити медіану та моду випадкового процесу, який описується законом Релея. Виз­начити, чи однаково часто зустрічаються амплітуди хитання, які є більшими та меншими за ма­те­матичне сподівання.

Задача № 3. Відомо, що густина ймовірності швидкостей руху молекул ідеального газу описується законом Максвелла:

Визначити величину a за умови заданого значення h. Знайти математичне сподівання, дисперсію та се­ред­нє квадратичне відхилення швидкостей руху молекул ідеального газу.

Задача № 4. Густина ймовірності випадкової величини X задана законом розподілу Лап­ласа:

Знайти функцію розподілу цієї величини F (X) та побудувати її графік. Виз­начити мате­ма­тич­не сподівання, дисперсію та се­ред­нє квадратичне відхилення ви­пад­кової величини X.

Задача № 5. Густина ймовірності випадкової величини X задана на відрізку за­коном розподілу:

Знайти функцію розподілу цієї величини F (X) та побудувати її графік. Виз­начити матема­тич­не сподівання, дисперсію та се­ред­нє квадратичне відхилення ви­пад­кової величини X.

Задача № 6. Ймовірність виявлення за час t корабля, який затонув, складає:

p (t) = 1 – e^{-γ t} _, γ > 0.

Визначити математичне сподівання, дисперсію та се­ред­нє квадратичне відхилення часу пошуку корабля.

Задача № 7. Визначити математичне сподівання m (t) маси радіоактивної речовини че­рез час t, якщо у початковий момент часу маса речовини складала m (0) = m ₀, а ймовірність роз­па­ду ядра будь-якого атома зо одиницю часу дорівнює p. Побудувати графік функції m (t). Знай­ти період напіврозпаду раді­о­ак­тивної речовини T_n, якщо відомо, що період напіврозпаду виз­на­ча­ється як час, за який почат­кова маса речовини зменшується вдвічі.