Задачі підвищеної складності. Задача № 1.Функція розподілу системи двох випадкових величин (Х, Y) являє собою пря­­мий круговий конус

Задача № 1. Функція розподілу системи двох випадкових величин (Х, Y) являє собою пря­­мий круговий конус. Основою конуса є коло K із центром у точці початку координат та із ра­­діусом r ₀, за межами цього кола у площині (x, y) густина розподілу ймовірності дорівнює 0.

1. Записати математичний вираз для функції густини ймовірності f (x, y). Побудувати гра­фік цієї функції.

2. Знайти функції розподілу одномірних величин f (x) та f (y). Побудувати графіки цих функ­цій.

3. Визначити, чи є величини Х та Y залежними.

4. Визначити, чи є величини Х та Y корельованими.

Задача № 2. Система двох випадкових величин (Х, Y) має наступний закон розподілу густини ймо­вірності:

1. Обчислити значення коефіцієнта a. Побудувати графік функції f (x, y).

2. Знайти функції розподілу густини ймовірностей одновимірних величин f (x) та f (y). Побудувати графіки цих функ­цій.

3. Визначити, чи є величини x та y залежними.

4. Знайти ймовірність попадання випадкової точки (Х, Y) у квадрат із центром у точці по­чатку координат та із сторонами, які паралельні осям координат та мають довжину b = 2.

Задача № 3. Функція розподілу системи двох випадкових величин (Х, Y) являє собою прямий круговий циліндр, центр основи якого співпадає із точкою початку координат, а висота дорівнює h.

1. Визначити радіус циліндра. Побудувати графік функції розподілу густини ймо­вірності f (x, y).

2. Знайти функції розподілу густини ймо­вірності одномірних величин f (x) та f (y). По­бу­ду­вати графіки цих функ­цій.

3. Знайти умовні функції розподілу густини ймо­вірності f (x | y) та f (y | x). По­бу­ду­вати гра­фіки цих функ­цій.

4. Знайти математичне сподівання величини X, її дисперсію, середнє квадратичне від­хи­лен­ня та ко­ре­ля­цій­ний момент.

Задача № 4. Система двох випадкових величин (Х, Y) розподілена за круговим нор­мальним законом із середнім квадратичним відхиленням σ, тобто функція густини ймовірності ці­єї системи величин записується наступним чином:

1. Побудувати графік функції розподілу густини ймо­вірності f (x, y).

2. Замінити наближено цей закон розподілу законом із постійною густиною ймовірності у колі. При цьому радіус кола r ₀ підібрати таким чином, щоб зберігалися незмінними дисперсії ви­падкових величин D [ X ] та D [ Y ]. Під час розв’язування цієї задачі доцільно використовувати результати розв’язку задачі 3.

3. Замінити наближено цей закон розподілу законом із функцією, яка створюється пря­мим круговим ко­ну­сом, центр основи якого лежить у точці початку координат. Радіус ос­но­ви ко­нуса r ₀ також підібрати, виходячи із умо­­ви рівності дисперсій. Під час розв’язування цієї задачі доцільно використовувати результати розв’язку задачі 1.

Задача № 5. Випадкова точка (Х, Y) розподілена із постійною густиною ймовірності у квадраті, вершини якого мають координати: (1, 0), (0, 1) (-1, 0) та (0, -1).

1. Записати математичний вираз для функції густини ймовірності f (x, y). Побудувати гра­фік цієї функції.

2. Знайти функції розподілу густини ймо­вірності одномірних величин f (x) та f (y). По­бу­ду­вати графіки цих функ­цій.

3. Записати математичні вирази для умовних функцій розподілу густини ймо­вірності f (x | y) та f (y | x). По­бу­ду­вати графіки цих функ­цій.

4. Визначити, чи є випадкові величини x та y залежними.

5. Визначити, чи є випадкові величини x та y корельованими.

Задача № 6. Вивести формулу (8.24) із формули (8.22).

Задача № 7. Довести нерівність (8.27). Пояснити, у яких випадках коефіцієнт кореляції має додатне, а у яких – від’ємне значення.

Задача № 8. Довести формули (8.28) – (8.30).

Задача № 9. Довести формули (8.31) – (8.32).

Задача № 10. Довести формулу (8.38), вважаючи, що випадкові величини X ₁, X ₂, …, X_k розподілені за експоненціальним законом.

Задача № 11. Довести, що якщо величини X ₁ та X ₂ розподілені за законом гама-роз­по­ділу, то величина

X = X ₁ + X ₂ також підлягає закону гама-роз­по­ділу.

Задача № 12. Довести формули (8.39).

Задача № 13. Довести формулу χ² – розподілу (8.41).

Задача № 14. Довести формули (8.42).

Задача № 15. Довести формули лінійних перетворень для двовимірного нормального розподілу (8.46).

Задача № 16. Довести формули (8.47) та (8.48).

Задача № 17. Довести центральну граничну теорему Ляпунова.