МЕТА РОБОТИ

 

|ціль|Вивчення основних|основний| операцій з|із| матрицями|матриця| на прикладі|зразок| скла­дання методом вузлових потенціалів системи рівнянь лінійної елект­ронної схеми.

 

5.2 ТЕОРЕТИЧНІ ВІДОМОСТІ

Математична модель схеми складається на підставі топологічних і компонентних рівнянь. Компонентні рівняння визначають зв'язки між струмами|тік| і напругою|напруження| елементів схеми. Топологічні рівняння склада­ються по законах Кірхгофа для струмів|тік| і напруги|напруження| і описують з'єд­нання|сполучення,сполука| елементів в схемі.

У системах комп'ютерного аналізу електронних схем найбільше застосування|вживання| отримав|одержав| метод вузлових потенціалів. Формування тополо­гічних рівнянь математичної моделі схеми в цьому методі про­водиться|виробляється,справляється| згідно із законом Кірхгофа для струмів|тік|. У матричній формі|форма| ці рівняння записуються|занотовуються| у вигляді|вид|

 

(5.1)

 

де A -| матриця з'єднань|сполучення,сполука| (інціденцій|) гілок схеми,

I – вектор, складений із|із| струмів|тік| гілок графа схеми.

 

Матриця з'єднань|сполучення,сполука| складається з|із| 0, +1, -1 і має m рядків і n стовп­ців, причому m – число незаземлених вузлів, а n – число гілок (елементів) графа схеми. Якщо k -та гілка входить в i -й вузол, то на перетині|пересічення| k -го стовпця і i -го| рядка занотовуватимемо|занотовувати| +1, якщо вихо­дить, то -1.

При виведенні розрахункової формули методу вузлових поте­нціалів топологічне рівняння (2.1) на підставі уявлення|вистава,подання,представлення| перетворюється до вигляду|вид|:

, (5.2)

 

де - вектор, складений зі|із| струмів|тік| в гілках схеми, що не містять|утримувати| незале­жні джерела струму|тік|;

- вектор, складений зі струмів|тік| незалежних дже­рел струму|тік|; - підматриці|матриця| матриці|матриця| А, відповідні векторам і J.

Компонентне рівняння в методі вузлових потенціалів пов'язує вектор струменів|тік| гілок з вектором падіння напруги|напруження| на них:

 

, (5.3)

 

де - матриця, складена з|із| провідності гілок, які відповідні всім елементам схеми, окрім|крім| незалежних джерел струму|тік|.

Зв’язок між напругою|напруження| гілок і вузловими потенціалами визначається таким чином:

, (5.4)

 

(5.5)

 

де - вектор напруги|напруження| на гілках, що не містять|утримувати| незалежні джерела струму|тік|;

- вектор напруги|напруження| на гілках, відповідних незалежним джере­лам струму|тік|;

Т – символ транспонування матриці|матриця|.

 

З|із| рівнянь (2.2) - (2.4) слідує|прямувати| формула методу вузлових потенціалів:

(5.6)

або

, (5.7)

де Y_n – матриця вузлових провідностей схеми,

- вектор вузлових задаючих струмів|тік|.

Перед складанням компонентної матриці|матриця| необхідно елеме­нти схеми представити|уявити| в базисі вузлових потенціалів. У цьому базисі k -тою| гілкой графа схеми може бути:

1. Провідність , що описується рівнянням

; (5.8)

 

2. Залежне джерело струму|тік|, кероване напругою|напруження| m -ної| гілки,

 

; (5.9)

 

3. Незалежне джерело струму|тік| величиною .

При складанні компонентної матриці|матриця| провідність запису­ється|занотовується| на перетині k -го рядка і k -го стовпця, а провідність – на перетині k -го рядка і m -го стовпця матриці|матриця|.

Для перетворення елементів схем в допустимий до методу вуз­лових потенціалів тип використовується еквівалентна заміна. Незале­жні джерела напруги|напруження| замінюються джерелами струму|тік|. Залежні дже­рела напруги|напруження|, керовані напругою|напруження| або струмом|тік|, а також залежні джерела струму|тік|, керовані струмом|тік|, перетворяться в залежні джерела струму|тік|, керовані напругою.

Алгоритм складання математичної моделі еквівалентної схеми методом вузлових потенціалів складається з наступних|слідуючий| кроків.

1. Представити|уявити| елементи схеми в базисі вузлових потенціалів.

2. Вказати позитивний напрям|направлення| струмів|тік| і напруги|напруження| в гілках схеми, пронумерувати вузли схеми, привласнивши 0 загальному|спільний| вузлу.

3. Скласти матрицю|матриця| з'єднань|сполучення,сполука| А, виділивши в ній підматриці|матриця| і .

4. Скласти з|із| провідності гілок компонентну матрицю|матриця| .

5. Знайти матрицю|матриця| вузлової провідності .

6. Скласти вектор із|із| заданих джерел струму|тік|.

7. Знайти вектор вузлових задаючих струмів|тік| .

8. Знайти вектор вузлових потенціалів, вирішивши|рішивши,розв'язавши| систему рів­нянь (2.7).

9. Знайти по співвідношеннях (5.3) – (5.5) вектори напруг і стру­мів|тік| вітвей схеми.

Порядок|лад| перерахування|перелік| елементів у матрицях|матриця| і , а також у матриці|матриця| та векторі повинен співпадати|збігатися|.

Досліджувана в лабораторній роботі схема транзисторного підси­лювача представлена на рис. 5.1,а. При заміні транзистора малосигна­льною схемою заміщення (див. рис. 5.2) досліджувана схема набуває вигляду, вказаного на рис. 5.1,б.

 

а) б)

а)|із| з умовним позначенням транзистора,

б) із|із| заміщенням транзистора еквівалентною схемою

 

Рисунок 5.1 – Досліджувана схема підсилювача

 

Для схеми на рис. 5.1,б, елементи якої відповідають базису вузло­вих потенціалів, матриця з'єднань|сполучення,сполука| А і її підматриці|матриця| і для вказа­них на рисунку напрямів|направлення| струмів|тік| і введеної|запровадженої| нумерації|нумерація| вузлів характери­зується таблицею 5.1.

Вектор незалежних джерел струму|тік| для даної схеми складається з одного елементу і задається співвідношенням:

 

. (5.10)

 

Таблиця 5.1 – Матриця з'єднань|сполучення,сполука| еквівалентної схеми підсилювача

 

Елементи гілок

Струм

gбб′

gб′э

Cб′э

Cб′k

gб′k

S

gkэ

Rк

J1

Вузли

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

-1

Матриця Ав

Aj

 

Матриця провідності компонентів схеми має наступний|слідуючий| вигляд|вид|:

 

(5.11)

 

Тут провідність двополюсних компонентів записана відпові­дно до (5.8) на головній діагоналі; крутизна|крутість| джерела струму|тік| записана згідно (5.9) на перетині|пересічення| 7-го рядка і 3-го стовпця, відповід­ного напрузі|напруження| на гілки, що управляє.

5.3 ЛАБОРАТОРНЕ ЗАВДАННЯ|

 

Завдання|задавання| передбачає складання математичної моделі схеми на рис. 5.1,б по методу вузлових потенціалів, представленому|уявленому| формулою (5.7).

При аналізі схеми використовуються параметри малосигналь­ної моделі транзистора, вказані в таблиці 5.2. Значення опорів резис­торів, і величина струму|тік| вибираються за останямя 3-мя циф­рами номера студентського квитка згідно таблиці 5.2.

 

 

Таблиця 5.2

 

№	J1, мА	Rк,кОм	R1,Ом	№	J1, мА	Rк,кОм	R1,Ом
		3,0				4,5
		3,1				4,6
		3,2				4,7
		3,3				4,8
		3,4				4,9
		3,5				5,0
		3,6				5,1
		3,7				5,2
		3,8				5,3
		3,9				5,4
		4,0				5,5
		4,1				5,6
		4,2				5,7
		4,3				5,8
		4,4				5,9

 

Необхідно розробити програму, що реалізовує алгоритм скла­дання математичної моделі еквівалентної схеми методом вузлових потенціалів і виконати розрахунок матриці|матриця| на частотах Гц, Гц, f =10000 Гц.

 

 

Рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| матричного рівняння (2.7) виконати різними спосо­бами:

- за допомогою функції lsolve| рішення|розв'язання,вирішення,розв'язування| систем лінійних рівнянь алгебри;

- за допомогою зворотної матриці|матриця|.

2. По співвідношеннях (2.3) – (2.5) знайти напругу|напруження| і струми|тік| на елементах схеми.

3. Обчислити|обчисляти,вичислити| коефіцієнт передачі|передача| схеми по струму

|тік|

,

 

де J₁ – струм|тік| на вході схеми;

- струм|тік| в резисторі R_k.

4. Обчислити|обчисляти,вичислити| коефіцієнт передачі|передача| схеми по напрузі

 

,

де – напруга|напруження| на вході схеми;

- напруга|напруження| на резисторі R_k.

 

5.4 ЗМІСТ|вміст,утримання| ЗВІТУ

7. Короткі теоретичні відомості, розрахункові формули, досліджу­вані схеми.

8. Значення елементів|роздруківка,роздрукування| матриці|матриця| , вектора , вектора вузлових потенціалів φ на частотах f =100 Гц, Гц, f =10000 Гц.

9. Значення елементів|роздруківка,роздрукування| векторів , , , що відповидають |із| на­пругам|напруження| і струмам|тік| в елементах схеми.

10. Значення К_u, K_i на частотах f =100 Гц, Гц, f =10000 Гц.

11. Провірка закона Кирхгофа для струмів|тік| в узлах схеми.

12. Короткі висновки|висновок,виведення| по роботі.

 

5.5 КОНТРОЛЬНІ ПИТАННЯ

 

1. Запишіть топологічне рівняння, що використовується в методі вузло­вих потенціалів, дайте пояснення?

2. Пояснить на прикладі|зразок| процес складання матриці|матриця| інціденцій|?

3. Який зв'язок між напругою|напруження| гілок і вузловими потенціалами?

4. Запишіть формулу методу вузлових потенціалів, дайте пояс­нення.

5. Як розраховуються струми гілок|тік|?

6. Як розраховується напруга|напруження| гілок?

7. Поясніть на прикладі|зразок| як складаються компонентна матриця в методі вузлових потенціалів?

8. Як перетворити незалежне джерело напруги|напруження| в джерело струму|тік|?

9. Як визначаються коефіцієнти передачі|передача| схеми по струму|тік| і на­прузі у схемі підсилювача |напруження|?

10. Область застосування|вживання| функції lsolve|, їх вхідні і вихі­дні змінні.

 

Перелік посилань

 

1. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники / Бессонов Л.А. – М.: Высшая школа, 1996. - 528 с. (Изд. 9-е, переработанное и дополненное).

2. Лосев А.К. Теория линейных электрических цепей / Лосев А.К. – М.: Высшая школа, 1987. - 357 с.

3. Попов В.П. Основы теории цепей /Попов В.П. – М. Высшая школа, 1985. - 486с.

4. Основы теории цепей: [Учебник для вузов] / Зевеке Г.В., Ионкин П. А., Нетушил А. В. – М.: Энергия, 1975. - 752 с. (Изд. 4-е, переработанное).

5. Евдокимов Ф.Е. Теоретические основы электротехники / Евдокимов Ф.Е. – М.: Высшая школа, 1968. – 590 с. (Изд. 2-е, переработанное).

ДОДАТОК А – ВАРІАНТИ ЕЛЕКТРИЧНИХ СХЕМ