Решение Крамеровских систем уравнений. Метод Гаусса для решения произвольных систем алгебраических уравнений.

3. Линейное пространство. Базис, размерность. Линейные операторы. Пространства R¹, R², R³. Преобразование матрицы линейного оператора при переходе к новому базису.

4. Скалярное, векторное и смешанное произведение в R³. Евклидово пространство. Ортогональный базис. Угол между двумя векторами.

Метод координат. Расстояние между точками в пространстве. Уравнение линии на плоскости. Прямая и плоскость в пространстве. Расстояние от точки до прямой и плоскости.

 

Тема 2. Введение в математический анализ

 

Логическая символика. Основные числовые множества. Элементарные функции, их свойства и графики.

Предел функции и его свойства. Непрерывность функции в точке и классификация точек разрыва. Непрерывность основных элементарных функций.

Техника вычисления пределов. Бесконечно большие и малые функции. Сравнение бесконечно малых.

Глобальные свойства непрерывных функций. Приближенное решение уравнений (методом половинного деления).

Производная функции, ее механический и геометрический смысл. Связь непрерывности и дифференцируемости функции.

Основные правила дифференцирования. Теоремы о производной сложной и обратной функции.

Понятие о производных высших порядков. Дифференциал и его геометрический смысл.

 

Тема 3. Применение дифференциального исчисления для

исследования функций и построения графиков

 

Экстремумы функций. Основные теоремы о дифференцируемых функциях (Ферма, Ролля, Лагранжа). Оценка погрешности вычислений.

Формула Тейлора. Правило Лопиталя. Примеры.

Условия монотонности функции. Признаки точек экстремума и перегиба. Выпуклость функции и ее достаточное условие.

Асимптоты функции и общая схема исследования функции и построения графиков.

Тема 4. Функции нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных. Частные производные. Дифференцируемость функций нескольких переменных. Полный дифференциал.

Частные производные высших порядков. Формула Тейлора.

Экстремум функций нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума. Обзор методов определения локальных и глобальных экстремумов функций нескольких переменных.

Эмпирические формулы. Выбор параметров эмпирических формул методом наименьших квадратов.

 

Тема 5. Неопределенный интеграл

 

21. Первообразная и неопределенный интеграл. Простейшие приемы интегрирования: интегрирование заменой переменной и по частям.

Интегрирование рациональных функций и функций, допускающих рационализацию.

Тема 6. Определенный интеграл

 

Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Определенный интеграл и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница. Приемы вычисления определенного интеграла.

Теорема существования определенного интеграла. Понятие о численных методах нахождения определенных интегралов.

Приложения определенного интеграла в геометрии и механике.

Несобственные интегралы первого и второго рода. Понятие о двойном интеграле.

 

Тема 7. Ряды

 

Числовые ряды. Сходимость и сумма ряда. Простейшие свойства числовых рядов. Необходимый признак сходимости.

28. Достаточные признаки сходимости: сравнения, Даламбера, Коши, интегральный. Примеры.

Знакопеременные ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признак Лейбница.

Степенные ряды. Область сходимости. Теорема Абеля. Нахождение радиуса сходимости степенного ряда. Свойства степенных рядов (обзор).

Ряды Тейлора и Маклорена. Разложение в степенной ряд основных элементарных функций.

Применение рядов к приближенным вычислениям.

 

Тема 8. Обыкновенные дифференциальные уравнения (ОДУ)

 

Задачи, приводящие к ОДУ. Порядок ОДУ, общее и частное решение. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

Основные ОДУ, интегрируемые в квадратурах (в полных дифференциалах, однородные, линейные первого порядка).

Линейные ОДУ второго порядка. Линейно зависимые и независимые решения. Теорема о структуре общего решения.

36. Решение линейных ОДУ высших порядков с постоянными коэффициентами: со специальной правой частью и методом вариации произвольных постоянных.