НЕ ЛИШЕННЫЙ ИЗЯЩЕСТВА ОПЫТ АБСТРАКТНЫХ ДОКАЗАТЕЛЬСТВ

 

Определение 1. Тождественные [термины] суть те, один из которых может быть подставлен вместо другого с сохранением истинности. Если имеем А и В п А входит в какое-либо истинное предложение, и если подстановкой В вместо А в каком-либо месте данного предложения будет получено новое предложение, также истинное, и если то же самое достигается, какое бы предложение мы ни взяли, то говорят, что А и В тождественны; и наоборот, если А и В тождественны, то осуществима подстановка, о которой я сказал. Тождественные [термины] называются также совпадающими; иногда же говорят как о тождественных об А и Л, тогда как А и В, если они оказываются одним и тем же, называются совпадающими.

 

Определение 2. Различные [термины] суть те, которые по являются тождественными, т. е. те, в которых подстановка иногда не приводит к успеху.

 

Королларий. Отсюда также следует: что не различно, то тождественно.

 

Характеристика] 1. А оо В означает, что А и В тождественны или совпадают, Характеристика] 2. А не оо и или В не оо А означает, что А и В различны.

 

Определение 3. Если множество [терминов], вместе взятых, совпадает с другим [термином], то говорят, что каждый [термин] из этих многих находится или содержится в этом одном; о самом же этом одном [термине] говорят, что он содержащее. И наоборот, если что-либо входит в другое, то оно окажется среди многих, которые, вместе взятые, совпадают с этим другим. Так, если А и В, вместе взятые, совпадают с термином L, то как /I, так и В могут быть названы существующим в или содержимым, а L может быть названо содержащим. Однако может случиться, что содержащее и содержимое совпадают. Так, если имеет место, что А и В оо L и А и L совпадают, то тогда В не будет содержать ничего другого, кроме А...1

 

Схолия. Не все «существующее в» есть часть, и не все «содержащее» есть целое. Например, вписанный квадрат

 

==632

 

и диаметр содержатся в круге; но такой квадрат есть часть круга, тогда как диаметр не есть его часть. Следовательно, для более точного уяснения понятия целого и части необходимо добавить нечто выходящее за рамки сказанною. И действительно, то, что не является частью, не только содержится, но и может быть отнято. Например, центр можно было бы отнять от круга, так что в остатке оказались бы все точки, кроме центра; ведь этот остаток будет местом всех точек внутри круга, расстояние которых от окружности меньше радиуса, различие же между этим последним местом и кругом есть точка, а именно центр. Так же получается п место всех точек, которые движутся, если сфера движется, тогда как две отдельные точки на ее диаметре неподвижны, т. е. если вы отнимете от сферы ось, или диаметр, проходящий через эти две неподвижные точки.

 

В силу тех же установок А и В, вместе взятые, называются составляющими, тогда как L — составным.

 

Характеристика} 3. А 4- В оо L означает, что А входит в данное L, или содержится в нем.

 

Схолия. И если даже А и В имеют что-то общее, так что, вместе взятые, они будут больше данного L, тем не менее остается в силе то, что мы уже сказали и будем говорить дальше. Будет полезно пояснить это примером. Пусть L обозначает прямую ИХ, А — ее часть, т. е. прямую RS, а В — другую ее часть, именно прямую XY. Положим, какая-нибудь из этих частей, HS или же XY, будет больше половины всей RX. Тогда при всех обстоятельствах нельзя говорить, что А-\-В равно L, или RS + XY равно RX. И__Y____S____Х Ибо на самом деле, поскольку YS есть общая часть данных RS и XY, постольку RS + XY ' будет равно RX + SY. Однако можно, истинно утверждать, что прямые RS и р ^ ^ XY одновременно совпадают с прямой RX.

 

Определение 4. Если некоторое М содержится в данном А, а также содержится в данном В, оно называется общим дл

 

них, а сами [А а В] —сообщающимися. Если же они не имеют ничего общего, как А и N (в нашем примере прямые RS и XS)t то называются несообщающимися.

 

==633

 

Определение 5. Если в данном L содержится А и производится образование некоторого N, в котором остается все, что входит в L, исключая то, что одновременно входит в А (при этом ничего из А не должно оставаться в N), тогда говорят, что А отнимается от L или удаляется из L; a N называют остатком, Характеристика] 4. Если L — А оо N, то это будет означать, что L — содержащее, причем такое, что если от него отнять А, то остатком будет N.

 

Определение 6. Если нечто одно полагается как совпадающее со многими вместе положенными или вместе удаленными, то эти многие называются составляющими, а это одно — составным.

 

Схолия. Отсюда в свою очередь следует, что все «существующее в» является составляющим, но не наоборот. Так, L — А оо N, хотя L не содержится в А.

 

Определение 7. Составление (т. е. полагание или удаление) бывает или неявное, или явное. N или —М есть неявное [составление] данного М, так же как А или —А, в котором содержится N. Явное [составление] данного N очевидно.

 

Определение 8. Компенсация бывает тогда, когда одно и то же полагается и удаляется в том же самом. Она бывает явной, когда производится в явном виде. Уничтожение бывает тогда, когда что-либо вследствие компенсации утрачивается. Так что вместо М — М с одинаковым правом можно было бы ставить «ничто» (Nihil).

 

Аксиома 1. Если что-либо берется вместе с самим собой, то ничего нового не составляется, т. е. А 4+ А оо А.

 

Схолия. Разумеется, что касается чисел, то 2 + 2 дадут 4, т. е. две монеты, прибавленные к двум, дадут четыре монеты, но в этом случае две прибавленные монеты — не те же самые, что две первые; если бы они были теми же самыми, ничего нового не получилось бы. Как если бы мы шутки ради пожелали из трех яиц сделать шесть, считая сначала, что их три, затем, съев одно, прибавили к этим трем оставшиеся два, а затем, съев еще одно, прибавили оставшееся последнее.

 

Аксиома 2. Если одно и то же полагается и удаляется, то, что бы ни составлялось где-либо таким образом, оно совпадает с «ничто». Т. е. А (всякий раз, когда оно полагается в чем-либо составляющим) —А (всякий раэд когда оно из этого же удаляется) оо N2.

 

==634

 

Схолия. Отсюда А — А, или (А + А) — А, или А — {А + А) и т. д. оо «ничто». Ибо^ в силу акс. 1, здесь дело всегда сводится к А — А.

 

Постулат 1. Множество каких-либо [терминов] может быть взято для составления одного. Так, если имеются А и В, то из них можно получить А + В^ которое может быть названо L.

 

Постулат 2. Удалить некоторое А из того, в чем оно содержится, т. е. из А + В, или L, если оставшееся, такое, как В, вместе с данным А составляет содержащее их L, — это то же самое, что ввести остаток L — А.

 

Схолия. Исходя из этого постулата, мы впоследствии дадим способ различения двух [терминов], из которых один, т. е. А, содержится в другом, т. е. L, при этом не прибегая к остатку» который вместе с одним из них составляет другой. Т. е. способ нахождения L —А, или А + В — А, когда даны только L s А, но не В.

 

Теорема I. Два [термина], тождественные третьему, тождественны между собой.

 

Если А оо В и В оо С, то А оо С. Ибо если в предложении «.А оо В» (истинном по условию) подставить С вместо В (что можно сделать в силу опр. 1, так как В оо С, по условию), то получим: А оо С. Что и требовалось доказать.

 

Теорема II. Если из двух [терминов], которые тождественны между собой, один будет отличен от третьего, то и другой также будет отличен от него.

 

Если А оо В и В не оо С, то А не оо С. Ибо если в предложении «В не оо С» (истинном по условию) подставить А вместо В (что можно сделать в силу опр. 1, так как А оо В, по условию), то получим А не оо С. Что и требовалось доказать э.

 

Теорема III. Если к тождественному прибавляется совпадающее, получается совпадающее.

 

Если А оо В, то А + С оо В + С. Ибо если в предложении А 4- С оо А + С (которое истинно само по себе) в одном случае вместо А подставить В (что можно сделать в силу опр. 1, так как А оо В}, тогда получим: А + С оо В + С. Что и требовалось доказать.

 

Королларий. Если к совпадающему прибавляется совпадающее, получается совпадающее. Если А оо В и L оо My то А + L оо В + М. Ибо (в силу настоящей теоремы) если L оо М, то А + L оо А + М. И на этом основании однократной подстановкой В вместо А (так как А оо В

 

==635

 

по условию) получим: А + L оо В + М. Что и требовалось доказать.

 

Теорема IV. Содержимое содержимого есть содержимое содержащего. Т. е. если то, в чем содержится нечто другое, само содержится в чем-то третьем, тогда то, ччо в нем содержится, будет находиться в том же третьем, и 1и же если А есть в В, а В есть в С, то и А будет в С.

 

Ибо А есть в В (по условию). Значит, имеется нечто такое (обозначим его через L}, что А + L оо В (в силу опр. 3 или характ. 3). Аналогично поскольку В есть в С (по условию), то В + М оо С. Учитывая это и полагая А + L вместо В (в силу доказанного их совпадения), получим: А + L + М оо С. Далее подстановкой N вместо L + М (в силу постулата 1) получим: А + N оо С. Следовательно, А есть в С (в силу опр. 3). Что и требовалось доказать.

 

Теорема V. В чем содержатся [какие-либо термины по отдельности, в том содержится и то, что из них составлено, Если А есть в С и В есть в С, то и А + В (составленные из А и В, по опр. 4) будет в С. Ибо если А есть в <", то имеется некоторое М, такое, что можно получить А + М оо С (в силу опр. 3).

 

Подобным образом так как В есть в С, то можно получить В + N оо С. Их сочетание (в силу короллария к теор. 3) даст: A+M+B+NooC+C. Далее, С —

 

— С оо С (в силу аксиомы 1). Следовательно, Л + М 4-

 

— В + N оо С. И отсюда (в силу опр. 3), Л + В есть в С. Что и требовалось доказать 4.

 

Теорема VI. Составленное из содержимых содержится в составленном из содержащих, Если А есть в М и В есть в Л^, то и А + 5 будет в М — Л^. Ибо А есть в At (по условию) и М есть в М + ^ (в силу опр. 3). Следовательно, 4 есть в М + ^V" (в силу теор. IV). Подобным же образом В есть в N (по условию) и Л^ есть в М + ^ (в силу опр. 3). Следовательно, В есть в М + N (в силу теор. IV). Далее, если А есть в М -г+ ^ и В есть в М + N, то и (в силу теор. V) А + 5 будет в М + -/V. Что и требовалось доказать.

 

Теорема VII. Если что-либо прибавляется к тому, е чем оно уже содержится, ничего нового не составляется. Или если В есть в А, то А + В оо А.

 

Ибо если В есть в А, то можно полагать В + С оо А (опр. 3). Следовательно (в силу теор. III), А + В оо

 

==636

 

оо В+ С+ В оо В+ С (в силу акс. 1) оо А ^в силу сказанного выше). Что и требовалось доказать.

 

Обращение теоремы VII. Если прибавлением чего-либо к другому не составляется ничего нового, то оно само уже содержится в этом другом.

 

Если А + В оо А, то В будет в А. Ибо В есть в А + В <опр. 3), а А + В оо А (по условию). Следовательно, В есть в Л (в силу причастности к теор. II и III). Что и требовалось доказать.

 

Теорема VIII. Если от совпадающих терминов отнимаются совпадающие, остатком будут совпадающие 6.

 

Если А оо L и В оо М, то А — В оо L — М. Ибо А — В оо А — В (что само по себе истинно). Но подстановкой в одной из сторон L вместо А и М вместо В (исходя из определения совпадающих) получим: А — В оо оо L — М. Что и требовалось доказать.

 

Теорема IX. (1) Из явной компенсации следует уничтожение того, что компенсируется, если в уничтожаемой компенсации не будет ничего такого, что неявно входило бы в повторное составление вне компенсации; (2) так же, если, каково бы ни было это повторение, она входило бы и в полагание, и в удаление вне компенсации. (3) Если рр происходит ни того ни другого, подстановка уничтожения вместо компенсации не может осуществляться.

 

Случай 1. Если А + N — М — N оо А — М и А, N, М будут несообщающимися. В таком случае нет ничего v уничтожаемой компенсации -{-N — N, что было бы вне ее в А или в М; или же то, что полагается в -{-N, всякий раз здесь содержится только в -{-N, и то, что удаляется в —N, всякий раз здесь содержится только в —N. Следовательно (в силу акс. 2), вместо +N — N может подставляться «ничто».

 

Случай 2. Если А + В — В — G оо F n все, что имеют общего как А + В, так и G и В, есть М, то F оо А — G. Положим, кроме тою, что Е есть все, что А а G имеют общего (если они ею имеют), так что если они не имеют ничего общего, то Е будет оо «ничто». Таким образом, получим: А оо Е +

 

==637

 

Случай 3. Если А 4- В — В — D оо С и то, что есть общего у данных А и В, не совпадает с тем, что есть общего у В + D, тогда не будет иметь места, что С оо А —

 

— D. Пусть В оо Е + F + G, и ЛооЯ+, и О оо оо К -{- F, так что эти ингредиенты не сообщаются дальше и поэтому нет нужды в дальнейшем разложении. Тогда получится, что CooH+E+E+F+G— Е — F - -

 

— G — К — F, т. е. (в силу случая 1) что С оо Н — К, а оно не является оо А — D, так как А — D оо Н + Е —

 

— К — F, разве только полагалось бы Е оо F, т. е. общее у В и А было бы тождественным с общим у В u D, что противоречит условию. То же доказательство было бы применимо и тогда, когда А и D имели бы между собой что-то общее.

 

Теорема X, Отнятое и остаток суть несообщающиеся.

 

Если L — А оо N, я утверждаю, что А и N не имеют ничего общего. Ибо, по определению отнятого и остатка, все, что есть в L, остается в N, кроме того, что есть в А, из которого ничего в N не остается.

 

Теорема XI. В двух сообщающихся [терминах] то, что в них есть общего, и две собственные [части] суть три [термина], не сообщающиеся между собой.

 

Пусть А и В будут сообщающимися и А оо Р -\- М„ а В оо N + М, так что все, что есть в А и В, будет в At, но ничего из М не будет в Р и N. Тогда я утверждаю, что Р, М,- N суть несообщающиеся. Ибо как Р, так и N не сообщаются с М, поскольку то, что содержится в М, есть одновременно в А и В и ничего такого нет в Р или N. Отсюда Р и N суть не сообщающиеся между собой,: иначе то самое, что было бы обще им самим, содержалось бы также в А и В.

 

Проблема. Сделать так, чтобы из добавления несовпадающих [терминов] к совпадающим составлялись опять-таки совпадающие.

 

Пусть А оо А; тогда я утверждаю, что могут быть найдены два [термина] В и N, такие, что В не будет оо N и тем не менее А + В будет оо А + N.

 

Разрешение. Пусть берется нечто такое, что входит в данное А, например М, и пусть будет В оо М + N, где Л берется произвольно, однако так, чтобы ни М не было в Л, ни, наоборот, N в М. Тогда мы получим то, что искали. Ибо поскольку В оо М + N, по условию, и М и N не включают друг друга (по условию), то при этом А + В оо А 4- Л^ так как A-{-BooA-\-MA-N^

 

==638

 

а это (в силу теор. VI 1, поскольку М есть в Л, по условию) оо А + N.

 

Теорема XII. В несообщающихся [терминах], те, которые, будучи добавлены к совпадающим, дают совпадающие, сами являются совпадающими.

 

Т. е. если А + В оо С + D и А оо с, то и В оо D при том, что A a Bt так же как С и D^ являются несообщающимися. Ибо А + В — С оо С -}~ d -. с (в силу теор. VIII). Далее, А + В — С оо А -}~ в — А (по условию, так как А оо С} vi A -}- В — Лоод (д силу теор. IX, случая 1, поскольку А и В суть несообщающиеся) и (в силу того же) C+D—CooD, Следовательно, В оо D. Что и требовалось доказать.

 

Теорема XIII. В общем случае если добавлением к совпадающим [терминам] чего-то другого получаются совпадающие [термины], то добавляемые [термины] являются сообщающимися между собой.

 

Пусть совпадающими или тождественными будут А и А и пусть А + В оо А + N; тогда я Утверждаю, что В и N являются сообщающимися. Ибо если А и В будут несообщающимися, равно как и А и N, то В оо N (по доказанному выше). Значит, В и N будут сообщающимися. Если же A v. В будут сообщающимися, то А оо Р + М и В оо Q + М, где М полагается как то, что обще у А ц В и отсутствует в Р и Q. Следовательно (в силу акс. 1)„ A+BooP+Q+MooP+M+N. Далее, Р, Q, М суть несообщающиеся (в силу теор. XI). Следовательно, если даже N не сообщается с А, т. е. с р -}- М,- из того, что P+Q+MooP+M+N, получим (в силу доказанного выше) Q оо N. Следовательно,: N есть в В. Отсюда N у. В являются сообщающимися. Если же при тех же посылках, а именно когда Р -)- (^ 4- М оо Р + + М + N, т. е. при А, сообщающемся с В, N также будет сообщаться с Р + М, т. е. с А, тогда либо N будет сообщаться с М и тем самым будет сообщаться также с В (в котором содержится М) и будет иметь место наложение (intentum), либо N будет сообщаться с Р, и тогда пусть мы положим Р оо G + Н ц аналогично N оо оо F + Я, так чтобы G, Н, F были несообщающимися (следствие теор. XI), и из Р + Q + М оо Р + М + N получится: G+H+Q+MooG+H+M+F+H. Следовательно (в силу доказанного в предыдущей теореме), имеем Q оо F. Значит, N (оо F ^- щ и В (оо Q + + М} имеют нечто общее. Что и требовалось доказать.

 

==639

 

Практическое приложение. Из этого доказательства мы научаемся следующему.

 

Если к тем же самым или совпадающим [терминам] добавляются какие-либо [другие] и получаются совпадающие [термины], то пусть даже те, которые добавляются, в обоих случаях будут не сообщающимися с теми, к которым они добавляются, сами они будут совпадать между собой (что и явствует из теор. XII). Если же один [из добавляемых] будет сообщающимся с тем тождественным, к которому добавляются тот и другой, а другой не будет, то несообщающийся будет в сообщающемся. Наконец, если они оба будут сообщающимися с тем, к которому добавляются, они будут как минимум сообщаться между собой (хотя, с другой стороны, отсюда не следует, что те [термины], которые сообщаются с одним и тем же третьим, сообщаются между собой). В обозначениях: А + В оо оо А + Л'. Если А и В — несообщающиеся, а также А и N — несообщающиеся, то В оо N. Если А и В — сообщающиеся, тогда как A u N — несообщающиеся, то N будет в В. Наконец, если В сообщается с А и N также сообщается с А, то В и. N будут как минимум сообщаться между собой.

 

==640