ОПЫТ УНИВЕРСАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

 

(1) Пусть общеутвердительное предложение будет выражаться нами в данном рассуждении следующим образом: а есть Ь, или: (Всякий) человек есть животное. Мы, следовательно, всегда будем подразумевать, что впереди стоит знак общности. Предложений отрицательных, частных и гипотетических пока не будем касаться.

 

(2) Предложение, истинное само по себе: аЬ есть а, или: (Всякое) разумное животное есть животное.

 

аЪ есть Ь, или: (Всякое) разумное животное есть разумное; (или опусканием Ь)

 

а есть я, или: (Всякое) животное есть животное.

 

(3) Следование, истинное само по себе: Если а есть Ъ и Ъ есть с, след., а есть с, или: если (всякий) человек есть животное и (всякое) животное есть субстанция, след., (всякий) человек есть субстанция.

 

(4) Отсюда следует: Если а есть bd и Ь есть с, след., а есть с. (Всякий) человек есть разумное животное. (Всякое) животное есть субстанция. Следовательно, (всякий) человек есть субстанция.

 

Доказывается это так: Если а есть bd, по предположению, и bd есть Ь, согласно (2), тогда а есть Ь, согласно (3). Опять-таки если а есть Ъ (как мы приняли) и Ь есть с (по предположению), то а есть с, согласно (3).

 

(5) Предложение является истинным, если оно получается путем вывода из того, что принято и что само по себе истинно.

 

Замечание. Даже если некоторые предложения принимаются по произволу людей, как в случае определения терминов, истина, получаемая из них, отнюдь не произвольна. Ведь по крайней мере абсолютно верно, что заключения, полученные из принятых определений, или, что то же самое, связь между заключениями или теоремами и определениями или произвольными гипотезами, абсолютно истинны. Это очевидно в случае чисел, где знаки и десятичные периоды установлены по произволу лю-

 

==560

 

дей, а выведенные из них вычисления означают абсолютные истины. Ведь эти вычисления выражают такую связь между принятыми символами и такие вытекающие отсюда формулы, которые обозначают и связи вещей (которые остаются одними и теми же, какие бы символы ни были приняты). Было бы полезно также, чтобы символы выбирались таким образом, чтобы из немногих допущенных легко можно было вывести многое, что стало бы возможным, если бы символы соотносились с простейшими элементами мышления.

 

(6) Если что-либо может быть всюду подставлено вместо другого с сохранением истинности, то и это другое может быть в свою очередь всюду подставлено вместо первого с сохранением истинности. Например, поскольку всюду вместо «плоской треугольной фигуры» может быть подставлен «трехсторонник», то и, наоборот, вместо «грехсторонника» может всюду быть подставлен «треугольник» Ибо я утверждаю, что если даны а и Ь и & может повсюду подставляться вместо данного а, то и а может повсюду подставляться вместо данного Ь. Это я доказываю так. Возьмем ли мы предложение «Ь есть с» или «d есть Ь», я утверждаю, что в них можно подставить а, так как если предположить, что подстановка невозможна, т. е. что нельзя сказать «а есть с» и «а есть а», то последние два предположения будут ложными; следовательно, в любом случае будут истинными такие два предложения: «Ложно, что д есть с» и «Ложно, что а есть а». Но Ь может быть подставлено вместо а, по предположению. Следовательно, будут истинными и такие два предложения: «Ложно, что Ь есть и «Ложно, что d есть Ь», что противоречит условию, ибо последние были приняты как истинные. Таким образов утверждение доказано. То же самое может быть доказало и иным способом.

 

(7) Тождественные суть те, одно из которых может быть подставлено вместо другого с сохранением истинности, как, например, «треугольник» и «трехсторонний четырехугольник» и «четырехсторонник».

 

(8) Все предложения (общеутвердительные, с которыми мы здесь только и имеем дело), в которые входит данная буква а, могут быть редуцированы к следующим формам: а есть и

 

аЬ есть е

 

с есть а,

 

==561

 

каким бы большим ни казалось их многообразие.

 

а есть d

 

а есть fg, редуцируется к а есть d, если положить, что fg есть d; а есть //гр, редуцируется к а есть d, если положить, что /Ар есть d, т. е. h^ есть g s fg есть d и т. д.

 

ab есть е

 

ab есть ik, редуцируется к аЬ есть е^ если положить, что г/с есть е и т. д.

 

aim есть е, редуцируется к аЪ есть е, если положить, что b есть 1т. Ибо если Ь есть 1т, тогда ab будет aZ/n.

 

aim есть ife, редуцируется к ab есть е, так как ik есть е и ab есть aim и т. д.

 

с есть о

 

пр есть а, редуцируется к с есть о, если положить, что с есть пр и т. д.

 

q есть ab (afec и т. д.), редуцируется к q есть а. поскольку вЬ есть а.

 

rs есть ab (яЬс и т. д.), редуцируется к q есть а, если положить, что r.s есть о и т. д.

 

в есть а, редуцируется к d есть а, если положить, что d есть а, или же к а есть с, если положить, что в есть с.

 

в есть а< (а0^ и т. д.), редуцируется к а есть d, если положить, что at есть d, или же к а есть а, поскольку at есть а.

 

аЬ есть

 

afcc есть

 

аи

 

awx (и т. д.)

 

а

 

az

 

а^ю (и т. д.)

 

Все эти предложения могут быть редуцированы из приведенных выше двояким образом: сохранением о либо в субъекте, либо в предикате

 

и т. д.

 

Однако все они редуцируются к трем вышеуказанным, как только мы заметим, что вместо d/, или dfg, или Ьс„ или en, ab, abc и т. д. может быть поставлена одна буква» равная этой конъюнкции нескольких. Так, вместо термина «разумное животное» ради сокращения ставим один термин «человек», а вместо композиции ab или abc, найденной в предикате, может быть подставлен простой термин а. Ведь если вы говорите: «с есть ab», или «Человек есть разумное животное», то вы во всяком случае можете также сказать: «с есть а», или «Человек есть животное». Иначе обстоит дело с субъектом, ибо, хотя я и скажу: «Всякое разумное животное есть человек», я все же не смогу утверж-

 

==562

 

дать: «Всякое животное есть человек». Поэтому предложение «ab есть с» нельзя редуцировать к более простому, в которое также входило бы а. Остальные же — можно как явствует из сказанного.

 

(9) Если а есть / и / есть а, то а и / будут тождественны, т. е. каждое из них может быть подставлено вместо другого. Это доказывается так. Сначала покажем, что / всегда может подставляться вместо данного а. Разумеется, в силу сказанного выше все предложения, в которые входит а, могут быть редуцированы к трем, а именно к а есть d, ab есть е и с есть а. Поэтому покажем, что здесь возможна троякая подстановка: / есть d, fb есть е и с есть /. Это именно так: поскольку / есть а и в есть d, постольку также f будет d. Подобным же образом, поскольку / есть а, постольку также и fb будет ab (в силу доказанного в «Добавлениях») 1, и если ab есть е, то и fb будет е. Наконец, поскольку с есть в и в есть /, то и с будет /. Тем же способом, которым мы показала что / может быть подставлено вместо в, доказывается также, что в может быть подставлено вместо /. Поскольку же выбор в или / был произволен, постольку, в силу (6), мы показали взаимную обратимость подстановки.

 

Сущее есть то, что обозначается каким-либо термином, например а или Ь или ab 2.

 

==563