ЭЛЕМЕНТЫ УНИВЕРСАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

 

Термин, например «животное», «человек», «разумное», я обозначаю числами: а, Ь, с, так чтобы термины, вместе образующие какой-нибудь термин, были обозначены числами, которые, будучи помноженными друг на друга, образовывали бы число [этого термина]; так, поскольку «животное» и «разумное» образуют «человека», этот термин b будет равен ас, получаемому из умножения а на с.

 

Категорическое общеутвердителъное предложение, например, «Человек есть животное» выразим так: — равн. у, или Ъ равн. уа. Это означает, что число, которым выражается «человек», делится на число, которым выражается «животное», хотя то, что получается в результате деления, а именно у, здесь не рассматривается, хотя нам известно, что у здесь будет с. Если бы было известно, что у есть единица, тогда Ь и а были бы эквиполентны, или, если они эквиполентны, у есть единица. Впрочем, мы можем это выразить и так: «Всякое Ъ есть а».

 

Общеотрииательное предложение, например, «Ни один человек не есть камень» сведем к следующему утвердительному: «Всякий человек есть не -камень». Термин же «не- камень» будет относиться ко всему, кроме камня; итак, выразим этот термин «не- камень» неопределенным числом, о котором известно только, что оно не делится на число «камня». Ведь если человек не есть камень, он не будет ни камнем крошащимся, ни камнем прозрачным, ни камнем драгоценным, а потому — ни алмазом, ни мрамором и т. д. Число же, которое не делится на какое-то данное число, есть то, которое не делится на некое простое число, на которое делится данное число. Например, пусть делимое число будет ару, равн. /, и делитель будет бе, равн. g, так что все простые числа делимого будут ее, р, у, одно же число делителя будет 6, которое не содержится среди этих ее, р, у. Ясно, что -^р равн.. Итак, обозначая простые числа греческими бук-

 

==523

 

вами и написав.

 

-^ равн.,-

 

мы выражаем, что - есть дробь, т. е. Общеотрицательное предложение1. Под точками... понимается то же, что «и т. д.», и предполагается, что на пустом месте можно написать любые числа, только бы они не содержали ни к, ни 6. И так как общеотрицательное предложение обратимо, то это тоже ясно выражается здесь, поскольку

 

равн. ^—

 

в 6 ^ становится —- равн. ——, — отношения в обоих случаях одинаковы.

 

Частноутвердителъное предложение, например, «Некоторый человек положителен» означает, что какому-то человеку присуща «положительность», т. е. число «некоторого человека» может быть разделено на число «положительного», например число «человека разумного»; *

 

Vih'^ следовательно, то, о чем идет речь, выразим так: —.

 

равн. z, предположив, что h равн. v, означающее, что если j число «человека» умножить на другое число, целое или дробное (числа, либо целые, либо дробные, я буду выражать еврейскими буквами), произведение может делиться на 1. \

 

Однако, чтобы понять это точнее, разъясним сначала сами простые термины, (3, у и т. д., т. е. греческая буква означает простое число, которое не может быть субъектом ни в одном общеутвердительном предложении, кроме тождественного, т. е. кроме такого, в котором оно само является и предикатом.

 

а, Ь, с, т. е. латинские буквы из первых букв алфавита, обозначают определенное число, т. е. данное простое или непростое.

 

s, t, и, w, х, у и т. д., т. е. латинские буквы из последних букв алфавита, обозначают неопределенное целое число, простое или непростое.

 

— обозначает предикат самого Ъ в общеутвердительном

 

предложении, т. е. какое-то число, например я, которое получается в результате деления Ъ на какое-нибудь неопределенное число, подходящее для деления. Ибо когда ставится неопределенное число, под

 

этим понимается подходящее. Таким образом, если я скажу, что о равн. -»

 

==524

 

то это то же самое, как если бы я написал, что ау равн. Ъ, как выше, либо Ъ равн. ау. Этот способ написания наилучший, ибо он соответствует высказыванию «Человек есть некоторое животное».

 

Термин ау, или —, обозначает неопределенный термин, т. е. либо общий, либо частный, и он, являясь предикатом утвердительного предложения, общего или частного, либо сам по себе общий, либо частный. Определенный термин Ъ всегда означает общий термин; таким образом, даже если я скажу: «ас равн. Ь» («Разумное животное есть человек»), где этот термин является предикатом в общеутвердительном предложении, то, поскольку это предложение обратимо, это то же самое, как если бы я сказал: «Всякое разумное животное есть всякий человек». Более того, и в следующем [предложении]: «ус есть Ь», т. е. «Некоторое разумное есть человек», происходит обращение. Ибо всякий человек есть нечто разумное 2.

 

Отсюда общеутвердительное предложение имеет вид: «Ь есть г/а» 3, т. е. «Ь есть с». Первое — необратимое, второе — обратимое, или, в более общем виде, «Ь есть г/а», либо «Ь есть zc», однако число z есть то же, что и единица, которая не умножает. Частноутвердительное предложение Имеет вид: «у а есть Ь» или «у а есть zc» 4. Отсюда доказывается, что частноутвердительное предложение обратимо в частноутвердительное, ведь, поскольку «г/а есть L» обращается в равенство, это всегда будет иметь место, так как субъект у а может быть разделен на предикат Ь

 

и получится «— равн. х», если положить х неопределенным результатом деления. Следовательно, будет: «уа равн. xbi>. Следовательно, «xb равн. г/а». Следовательно, «хЪ есть а» 5, т. е. предложение будет обращенным, как и требовалось. Все это я представлю теперь короче и точнее.

 

(1) Главное правило нашей характеристики состоит в том, что любой термин, например «животное» — а, «человек» — Ь, «разумное» — с, представляется числом, которое получается из умножения чисел, представляющих термины, образующие данный термин, так что число Ь равн. ас, потому что человек есть разумное животное. Пусть число «животного» будет 2, «разумного» — 3, тогда число «человека» будет 6. Отсюда следует, что во всяком

 

==525

 

категорическом предложении число субъекта должно быть делимо на число предиката. Например, «Человек есть животное» b может делиться на а, т. е. 6 — на 2.

 

(2) Отсюда следует, что предложение всегда может быть превращено в равенство, потому что, если число предиката умножить на какое-то другое число, а именно i получающееся в результате деления субъекта на предикат, появляется число, равное числу субъекта. Ведь есд частное умножить на делитель, получается делимое

 

<— равн. с» Следовательно, «Ь равн. ас».

 

(3) Когда не известно, что есть частное, а это происхсодит, когда дан только предикат и не дано всего остального, что составляет понятие, тогда вместо неизвестного может| быть взято неопределенное число, например х, у, г; например, «снег» будет субъектом «метеорологического явления»,| т. е. мы говорим: «и есть /те»; п во всяком случае может

 

быть разделено на т, т. е. можно сказать, что — равняется «чему-то». Но так как не установлено, каково что «что-то», и мы не знаем совокупности остальных необходимых для этого реквизитов, как-то: снег есть некоторое метеорологическое явление, холодное, пенообразное, ощу-| тимо падающее, мы назовем это неизвестное соединение

 

в скажем: «- равн. s», что дает «га равн. sm», т. е. снег есть то же самое, что и какое-то определенное метеорологическое явление.

 

(4) Таким образом, во всяком равенстве, т. е. в прс э обратимом предложении, нужно соблюдать, чтобы какая-то буква, употребленная абсолютно, обозначающий термин, как, например, п — «всякий снег». Умноженное же на неизвестную букву s, например sm, обозначало бы термин со знаком частности, например «некоторое метеорологическое явление».

 

(5) Отсюда ясно, каким образом равенство дол превратиться в предложение, ведь любой термин pai ства может стать субъектом предложения, лишь бы i рой стал предикатом, и наоборот; однако термин, который должен стать субъектом предложения, должен оставаться таким, каким он был в равенстве, в термине же, который должен стать предикатом, может быть опущена неопределенная буква, например т равн. sm», отсюда будет 'i есть sm». Всякий снег есть то определенное метеорологи-

 

==526

 

ческое явление, о котором я говорю, и «sm есть п». Т. е. всякое определенное метеорологическое явление, о котором я теперь говорю (т. е. какое то метеорологическое явление), есть снег.

 

(6) Следует отметить, что я понимаю в качестве общего субъекта предложения тот, который не отмечен никаким знаком частности. Снег есть метеорологическое явление, т. е. всякий снег есть метеорологическое явление. Из этих принципов, касающихся категорических утвердительных предложений, легко выводится все остальное.

 

(7) «re есть т». Следовательно, «га равн. sm (по правилу обращения предложения в равенство, п 3). Следовательно, «га есть sm» (по правилу обращения равенства в предложение, п. 5). Всякий снег есть метеорологическое явление. Следовательно, всякий снег есть какое-то метеорологическое явление.

 

(8) Далее, если «га есть?га», т. е. «га равн sm», следовате^но, согласно природе чисел, т. е. равенства, «tn равн. tsm», т. е. в результате обращения равенства в предложение «tn есть т». Т. е. если всякий снег есть метеорологическое явление, следовательно, какой-то снег есть метеорологическое явление.

 

(9) Если «tn есть т», следовательно, «tn равн. vm» — по п. 3. Следовательно (по п. 5), wm есть га» 6. Т. е. если какой-то снег есть метеорологическое явление, следовательно, какое-то метеорологическое явление есть снег.

 

(10) Отсюда, наконец, мы заключаем: если п есть т, следовательно, vm есть га. Т. е. если всякий снег есть метеорологическое явление, следовательно, некоторое метеорологическое явление есть снег. Ибо если «га есть т», следовательно, «tn есть т» — по п. 8. Если «га есть то», следоштельно, «vm есть га» — по п. 9. Следовательно, если «п есть т», «vm есть га». Что и требовалось доказать.

 

(11) Отсюда же непосредственно могут быть доказаны и свойства отрицательных предложений. Ибо частноотрицательное указывает только на ложность общеутвердительного. Отсюда те предложения, из которых заключают к общеутвердительному, если оно истинно, также являются ложными.

 

(12) Таким же образом общеотрицательное предложение указывает на ложность частноутвердительного. Отсюда же оно говорит также о ложности тех предложений, из которых можно заключать к частноутвердительному, как, например (по п. 8), общеутвердительного. Следова-

 

==527

 

тельно, из общеотрицательного заключаются ложность общеутвердительного и тем самым (по п. 11) к истинности частноотрицательного.

 

(13) И так как U.N. указывает на ложность Р.А. п от Р.А. заключают к обращению Р.А., следовательно, U.N. указывает на ложность обращенного Р.А., т. о. (по п. 12) на истинность обращенного U.N. Таким образом, оно может быть обращено просто.

 

Но рассмотрим это в нашей характеристике более пространно 7.

 

Но рассмотрим нашу характеристику подробнее. Действительно, в отрицательных предложениях выражается то, что предикат не находится в субъекте, т. е. что число предиката не содержится в числе субъекта, как делитель в делимом либо как множитель в произведении. Используем некоторые буквы, представляющие дроби, т. е. в нашем случае отрицательные понятия, которые будем обозначать греческими буквами л, о, ф, ф, ю. Ведь если бы кто спросил меня, что требуется положительного для того, чтобы некоторое животное стало человеком, я скажу, что требуется «разумность»; и если кто спросит меня, что требуется, чтобы метеорологическое явление, т. е. т, стало снегом, т. е. п, я скажу, что требуется, чтобы оно было холодным, пенообразным, белым, ощутимо падающим и т. п.; соединение воедино этих отличий, т. е. специфических отличительных признаков снега в роде метеорологических явлений, отделяющих снег от всех других метеорологических явлений, я обозначу буквой s, одной из последних [в алфавите], ибо предполагаю его недостаточно познанным и в этом отношении воспринимаю его лишь смутно, а поэтому и выражаю через sin, т. е. что снег есть некоторое определенное частное проявление метеорологических явлений, а именно то, о котором я сейчас говорю и о котором обладаю смутным представлением. И это вполне удается. Но если кто-нибудь спросит меня о положительном специфическом отличительном признаке, устанавливающем вид человека в родо камня, т. е. о том, что положительного требуется для того, чтобы камень был человеком, я скажу, что от меня требуют нелепости.

 

Требуется же скорее нечто отрицательное либо, как в данном случае, отчасти положительное, отчасти опускаемое, для того чтобы камень стал человеком. Ибо у камня нужно нечто отнять и что-то к нему прибавить, чтобы воз-

 

==528

 

никло понятие, совпадающее с понятием человека. И это всегда имеет место в раздельных [понятиях], т. е. таких, из которых ни одно не есть ни род, ни вид, так что необходимо что-то прибавить, а что-то отнять, для того чтобы одно обратилось в другое. Но чтобы из рода получился вид, необходимо лишь прибавить отличительный признак, а чтобы из вида получился род — только отнять. Поэтому, если кто-то спросит у меня, что еще необходимо человеку, чтобы он был тождественным животному, я скажу, что не требуется ничего положительного, но скорее следует нечто опустить, а именно — наделенность разумом, что выражается дробью —, которая означает, что дл

 

того, чтобы число человека Ь было сведено к числу животного и, следует само число человека умножить на

 

дробь —, т. е. разделить на с. Отсюда ясно: если то, что

 

С

 

мы хотим образовать из вида путем прибавления какого-то нового реквизита, есть род, то сам род образуется из вида лишь отнятием специфического отличительного признака, т. е. вид каким-то образом делается родом а наоборот, так что специфический отличительный признак рода по отношению к виду есть опускание специфического отличительного признака вида по отношению к роду, и в результате дробное число, которое должно быть умножено па Ь — вид, чтобы отсюда получилось а — род, будет простой дробью, имеющей числителем единицу. Но чтобы одно раздельное [понятие] стало другим, частично следует что-то опустить, а частично что-то прибавить, следовательно, реквизитом для этого будет дробь, числитель которой больше единицы. Любому внимательному наблюдателю все это ясно из нашего основного правила ибо если полагание (positio) понятий мы выражаем умножением чисел, то опускание понятий мы будем выражать делением их 8.

 

Поскольку до сих пор я осторожно говорил скорее об опусканиях, выраженных дробями, чем об отрицаниях, необходимо найти переход к отрицательным предложениям. И здесь нужно принять во внимание следующее. Я могу сказать «Некоторое из метеорологических явлений не есть снег» вследствие опускания чего-то такого п понятии «метеорологическое явление», что требуется в понятии «снег». Отсюда нечто может быть метеорологическим явлением, хотя и не имеет того, что опускаетс

 

==529

 

в понятии «метеорологическое явление» и требуется в понятии «снег». Таким же образом можно сказать «Какой-то камень не есть человек», потому что для человека требуется нечто, чего не требуется для камня. Следовательно, в случае, когда т есть род, п — вид, образуется общсутвердительное предложение рода о виде «п есть т», в котором п имеет знак общности, а каков знак т — безразлично. Отсюда получается равенство «ге равн. sm» между числами п и sm. Следовательно, разделив на s, п получаем: «— равн. те»; умножив это равенство на х, получаем «^- равн. а-тп». Отсюда по правилу превращения равенств в предложения согласно п. 5 получится: «хт

 

п п есть —», где — означает то же, что и некоторое не-уг, как

 

S S

 

tn означает некоторое п. Поскольку умноженное на букву есть частноутвердительный термин, постольку деленное на букву необходимо есть частноотрицательный термин. Следовательно, мы имеем: «Некоторое метеорологическое явление есть некоторый не- снег». В любом предложении не имеет значения, каков знак предиката, и мы, таким образом, имеем: «Некоторое метеорологическое явление есть не -снег». Более того, мы можем сказать еще проще: «от есть —». Опуская х, мы можем воспользоваться тем правилом, что предложение является частным, если субъект умножается на неопределенную букву, и что оно же является частным, если предикат делится на неопределенную букву. Таким образом мы, по-видимому, вполне установили природу частноотрицательного предложения. При любой данной дроби — можно сказать, что — есть отрицание или любого вида s, или числа, делимого на s, или самого zs, т. е. тождественно никакому s. Таким образом, сказать: «Человек не есть камень» — то же самое, что сказать: «Человек есть то, что есть не- камень». Так, некоторое животное есть то, что не является никаким человеком. Следовательно, нечто, что не есть никакой человек, есть животное.

 

Подытожим установленные нами способы выражения. га либо т, взятое абсолютно, есть неопределенный термин. Если субъект есть sm — предложение частное. Если предикат есть "- — предложение частноотрицательное.

 

==530

 

Или лучше так: если из термина какого-нибудь равенства получается субъект в результате опускания какой-то умножающей буквы либо предикат в результате опускания какой-то делящей буквы, получается частное предложение. Из этих двух одно зависит от другого. Пусть будет «те равн. fd», например «Самый прочный металл есть то же самое, что самое ковкое полезное ископаемое»; отсюда получается частное предложение «та есть fd» — «Некоторый металл есть самое ковкое полезное ископаемое». То, что из нашего равенства получается равенство «та

 

равн. -», очевидно, если опустить делитель в предикате; [здесь] происходит то же, что и в предыдущем равенстве при опускании множителя в субъекте, а именно: «т есть fd». Следовательно, и это предложение тоже частное. Действительно, и в том и в другом случае предикат берется шире субъекта либо, что то же самое, субъект — уже предиката, что само по себе не указывает (если только это неизвестно откуда-то еще), предикат ли, расширенный подобным образом, может содержать большее, или субъект, настолько суженный, может содержать большее. Но если взять субъект более узкий, чем предикат, т. е. с более многочисленными реквизитами, так что, если субъект умножить либо предикат разделить, от этого не изменится знак, который был в равенстве, а именно знак общности, тем не менее предикат не перестает содержаться во всяком субъекте, ибо то, что содержится в роде, содержится и в виде. И точно так же, в чем содержится род, в том содержится и род рода — по правилу: часть части есть часть целого. Следовательно, мы имеем правило знаков.

 

Что касается правила утверждений и отрицаний, то существуют два случая: либо мы отрицаем вид о роде, либо отрицаем раздельное о раздельном. Если мы отрицаем вид о роде, повторится случай, который мы имели выше. Так, «ас равн. Ь»; ясно, что а есть род и человек есть вид. Отсюда мы хотим образовать предложение: «Некоторое животное не есть человек». Это получается, если мы отнимем что-либо от термина, который должен стать субъектом, не отнимая ничего от термина, который должен стать предикатом.

 

Если же мы захотим отрицать раздельное о раздельном, как, например, раздельны медь и золото, посмотрим, как следует здесь рассуждать. «Никакая медь не

 

==531

 

есть золото», т. е. «Неверно, что некоторая медь есть золото». Укажем, таким образом, только, что следующее предложение ложно: «Некоторая медь есть золото». Также: «Никакая медь не есть золото», следовательно, «Всякая медь есть не -золото». Нужно заметить, что предложение «Никакая медь не есть золото» неудачно выражается через следующее: «Всякая медь не есть золото» (что, по-видимому, только говорит: «Некоторая медь не есть золото»), но лучше [выражается] через такое: «Всякая медь есть не- золото». Итак, то, что зависит от духа языка, не может и не должно доказываться. Но, может быть, лучше: «Всякий человек есть животное». Следовательно, «Все, что есть не-животное, есть не- человек». Но это дает нам только отрицательное [отношение] между родом и видом, нo не между раздельными: «— есть не-s». Т. е., если в дробном термине при опускании числителя получается цельный термин предложения, являющийся знаменателем, этот термин будет отрицательным знаменателем. Более того: «ас равн. Ь». Следовательно, «с равн. —»... 9

 

==532