ЭЛЕМЕНТЫ УНИВЕРСАЛЬНОЙ ХАРАКТЕРИСТИКИ

 

Правило построения характеров следующее: всякому термину (т. е. субъекту или предикату предложения) приписывается какое-нибудь число при соблюдении одного условия — чтобы термину, составленному из каких-либо других терминов, соответствовало число, образованное из чисел этих терминов, умноженных друг на друга. Например, если представить, что термин «животное» выражается через число 2 (или, в более общем виде, а), термин «разумное» — через число 3 (или, в более общем виде, г), то термин «человек» будет выражен через число 2.3, т. е. 6, образованное из умноженных друг на друга 2 и 3 (либо, в более общем виде, числом аг).

 

Правила применения характеров в категорических предложениях следующие.

 

Если общеутвердительное предложение истинно, то необходимо, чтобы число субъекта могло делиться точно, т. е. без остатка, на число предиката.

 

U.A. р [делению] удовлетворяет, т. е. число S может точно делиться на число Р. Или если р выразить через дробь (числитель которой, например 6, был бы S — числом субъекта, например «человека», знаменатель же Р — числом предиката, например «животного»), то эта дробь должна равняться целому, как 1 есть 2.

 

Если частноутвердительное предложение истинно, достаточно, чтобы или число предиката могло делиться точно на число субъекта, или число субъекта — на число предиката.

 

Р.А. Или р, или -у [делению] удовлетворяет.

 

Если общеотрицательное предложение истинно, необходимо, чтобы ни число субъекта не могло делиться точно

 

==506

 

на число предиката, ни число предиката — на число субъекта.

 

U.N. Ни -п, ни -с,- [делению] не удовлетворяют.

 

Если частноотрицателъное предложение истинно, необходимо, чтобы число субъекта не могло делиться точно за число предиката.

 

P.N. р [делению] не удовлетворяет.

 

Эти четыре правила, или определения, истинных категорических предложений (а также и ложных, ибо те предложения, которые не являются истинными, ложны), различающихся по количеству (или знакам) и качеству (т. е. утверждению или отрицанию), достаточны для того, чтобы сразу понять всю обычную логику, поскольку она трактует о форме предложений и категорических силлогизмов, так что в результате можно сразу же понять подчинения, противопоставления, обращения предложений и фигуры и правильные модусы силлогизмов. Ибо предложения будут сразу же рассматриваться в числах — как те, из которых делается заключение, так и те, которые выводятся из других.

 

Более того, я покажу нечто значительное: как посредством исчисления моментально могут быть доказаны все формы категорической логики, даже если предположить, что еще не даны нужные числа отдельных терминов и понятий. Ведь подобно тому как в буквенной алгебре мы производим вычисления с числами вообще, выраженными буквами, которые обозначают любые специальные числа, известные или неизвестные, так и здесь, применяя буквенные обозначения вместо этих чисел, мы докажем замечательные теоремы науки логики. Таким образом, преимущества этого нашего замечательного открытия столь велики, что одно только намерение и желание (применить его) даст новый свет разуму и невиданно обогатит науку 1.

 

Имеет смысл в нескольких словах привести пример столь великого открытия. Итак, если нам дано какое-то категорическое предложение, мы выразим числа субъекта и предиката какой-нибудь буквой, например если дано 1 предложение «Человек есть животное», мы можем выразить число субъекта буквой Н, а предиката — буквой А а. Выразим отношение этих двух чисел Я, А в простых числах, например если число Я будет 6 и А будет 2,

 

==507

 

отношение Н к А в простых числах будет 3 к 1, соответственно отношение Л к Я в простых числах будет 1 к 3. Или если число Я будет 15 и число А будет 6, отношение Я к А в простых числах будет 5 к 2, а отношение А к Я в простых числах — 2 к 5. Вообще предположим, что эти простые числа суть v, r, так что Я будет относиться к 1

 

как гки3. Отсюда будет -. равн. — и „равн.—, или? 1

 

Л V 1л Т

 

равн. vH. Попутно следует заметить, что простые числа, выражающие отношение чисел субъекта и предиката, суть числа тех терминов, которые остаются в субъекте и предикате после отнятия общих тому и другому терминов. Из этого следует, что, если деление числа Я (субъекта) на число А (предиката) осуществляется точно, т. е.а

 

тт j

 

если дробь, сведенная к простым числам, т. е.1- (напр.,1 -т-), есть целое число, необходимо, чтобы ее знаменатель о был 1, т. е. единицей. Наоборот, если деление не осуществляется точно, т. е. если дробь, выраженная в простых числах —(напр.,-,-), не есть целое число, необходимо, чтобы знаменатель v (здесь 2) был не единицей, а числом, i большим единицы. То же самое и в делении предиката на субъект, нужно только обратить дробь, потому что, если число А (предиката) может делиться точно на число Я

 

(субъекта), тогда дробь, выраженная в простых терминах, т. е. —, будет иметь знаменатель r, равный единице; если же деление А на Я не осуществляется точно, дробь — будет иметь знаменатель r, больший, чем единица. То же самое происходит, если числа, соответствующие терминам предложения, суть Н, В v. числа, выражающие простейшим образом их отношение, суть r, у.

 

Таким образом, поскольку истинность, качество и количество любых категорических предложений могут быть постигнуты с помощью одних только точных или неточных делений чисел, выражающих термины, из ранее установленных правил следует, что это сведение отношения двух чисел, выражающих термины предложения, к минимальным терминам, всегда достаточно для установления равенств, соответствующих предложениям. Ибо в зависимости от того, может или не может осущест-

 

==508

 

виться деление каким-то определенным образом, данное количественное пли качественное предложение является истинным или ложным, и, наоборот, если данное количественное или качественное предложение истинно или ложно, указанное деление может соответственно быть осуществлено или не осуществлено.

 

В результате возникает следующая таблица предложений и соответствующих равенств.

 

II. Р. А. Некоторое А есть Н (или Некоторое Я есть А)

 

III. U. N. Ни одно Н не есть В (или Ни одно В не есть Я)

 

IV. Р. N. Некоторое А не есть Н

 

I. U. А. Всякое Н есть А

 

vH равн. гА

 

Число (v), т. е. множитель субъекта, должно быть единицей.

 

гА равн. vH (или ъН равн. гА)

 

Достаточно, чтобы какое нибудь из чисел (r или i>), т. е. множителей терминов, было единицей.

 

уН равн. гВ (или гВ равн. уН}

 

Оба числа, т. е. множители терминов (у, r), должны быть больше единицы.

 

гА равн. vH

 

Число (r), т. е. множитель субъекта, должно быть больше единицы.

 

Из этой таблицы интуитивно сразу становится ясным, чю общеотрицательное и частноутвердительное предложения противополагаются как противоречащие друг другу, так как всякое число (я все время говорю о целых числах), указанное в условиях этих предложений, либо является единицей, либо больше единицы, но не одновременно и so в другое, и не одновременно ни то ни другое. Таким образом, одно из предложений, которые, как мы сказали, противоположны друг другу, будет истинным, другое — ложным.

 

Точно так же интуитивно ясно, что из общего [предложения] следует частное при сохранении терминов и язычества, т. е. при тех же терминах и том же их расположении из общеутвердительного следует частноутвердительное, из общеотрицательного — частноотрицательное. Ибо из общеутвердительного следует частноутвердительное, так как если число субъекта, т. е. множитель термина, есть единица (как требуется в равенстве, относящемся к U. А.), то во всяком случае число, т. е. множитель одного из двух терминов, есть единица (что являетс

 

==509

 

единственным требованием в равенстве, относящемся к Р. А.). И из общеотрицательного следует частноотрицательное, потому что, если и то и другое число, т. е. множители какого-нибудь термина, больше единицы (как требуется в равенстве, относящемся к U. N.), во всяком случае число, т. е. множитель одного из терминов, а именно субъекта, будет больше единицы (что единственно и требуется в равенстве, относящемся к Р. N.).

 

И вот что становится совершенно ясным: U. N. и Р. N. могут обращаться просто, ибо при их условиях требуется только, чтобы тот или другой множитель, т. е. коэффициент, был единицей или чтобы оба были больше единицы, а поэтому ни один термин предложения преимущественно не выделяется, и, таким образом, не имеет значения, какой из них является субъектом или предикатом, лишь бы сохранялось качество и количество.

 

Но чтобы показать на буквах то, что выражено словами, таблицу следует построить несколько иначе, а именно так, чтобы по самим буквам можно было судить, являются ли они больше единицы или равны ей, насколько, разумеется, об атом можно судить по форме. С этой целью мы отбросим числа, которые очевидно равны единице, потому что единица не умножает, числа, которые *...

 

Но чтобы продемонстрировать с помощью буквенного исчисления то, что мы показали с помощью слов, таблицу следует построить несколько иначе и сами буквы должны различаться так, чтобы из них самих было ясно, являются ли они необходимо большими, чем единица, или необходимо равны ей, или по крайней мере то больше, то равны ей.

 

С этой целью будут применены следующие наблюдения или каноны.

 

I. Заглавная буква обозначает какое-нибудь число, соответствующее термину (т. е. субъекту или предикату какого-нибудь предложения, которому оно приписано или должно быть приписано).

 

II. Строчная буква обозначает какое-нибудь число, множитель числа заглавной буквы, которое для полноты равенства должно возникнуть из предложения, и это число мы можем назвать коэффициентом. Поскольку в предложении иногда один термин содержит другой, то и число одного [термина] содержит число другого, как делимое — делитель, и поэтому, чтобы стать равным делимому, делитель должен быть умножен на частное. А если деление

 

==510

 

не удается, т. е. если ни один не содержит другой, т. е. если термины раздельные, тогда каждое из чисел должно быть умножено на какое-нибудь другое, каждое на свое, для того чтобы стать равными. Множители же должны быть таковы, чтобы простейшим образом выражать взаимное отношение умноженных чисел; а умножение должно осуществляться перекрестно. А что простые числа должны применяться, как и в том случае, когда имеется отношение единицы к целому числу, то это вполне ясно и попятно из сказанного выше.

 

III. Латинская строчная буква обозначает такое число, что формально безразлично, равно ли оно единице или числу, большему, чем единица. Например, в общеутвердительном предложении безразлично, уже ли предикат субъекта или равен ему, лишь бы он в нем содержался, т. е. лишь бы он не был больше субъекта. Поэтому числом, на которое должно быть умножено число предиката, чтобы получилось число субъекта, будет либо единица, когда субъект и предикат взаимообратимы или равны по объему, либо число, большее единицы, когда предикат уже субъекта. Для общей же формы общеутвердительного предложения безразлично, какое из этих двух чисел следует употребить. Поэтому вместо предложения «Всякое Н есть Л» мы можем употребить следующее равенство: Н равн. гА; поясню на примере: понятие «человек» совпадает одновременно с понятием «разумный» и с понятием «животное», т. е. число «человека» получается из умножения числа «животного» на число «разумного». И в этом случае г есть число, большее, чем единица, но в других случаях оно может быть равно ей. Например» «Всякое Т есть в», т. е. Т равн. uQ. Всякий треугольник имеет три стороны; так как понятие треугольника равнообъемно понятию трехсторонней фигуры, т. е. они коэкстенсивны, то, следовательно, и числа, их выражающие, будут равны. Поэтому v, на которое должно быть умножено, чтобы равняться Т, которому оно уже равно, есть единица. Следовательно, в силу общей формы, которой обладает общеутвердительное предложение, безразлично, является ли число г или v, множитель предиката, единицей, или оно больше единицы. То же самое относится и к предикату частноотрицательного предложения, которое есть не что иное, как противоречащее общеутвердительному, как ясно из вышесказанного. Все это мы привели здесь не для доказательства, а для иллюстрации.

 

==511

 

IV. Греческая строчная буква (не употребляемая в качестве экспонента, о чем позднее) обозначает число, которое определенно больше единицы. Такое число встречается в отрицательных предложениях, как видно из приведенной выше таблицы и будет еще виднее из дальнейшего.

 

V. Строчная латинская буква, отмеченная каким-нибудь экспонентом, выраженным греческой буквой, как г, образует число, о котором в силу формы известно' что оно чередуется с каким-то другим числом, также выраженным латинской строчной буквой с греческим экспонентом, так что одно из них необходимо является единицей, а другое — безразлично, равно ли единице или больше единицы.

 

А так как может случиться, что одновременно будет употреблено более двух букв, отмеченных такого рода экспонентами, то, чтобы было ясно, какие именно из них должны относиться друг к другу и составлять одну пару, мы будем поступать следующим образом: их экспонентами будут две греческие буквы, ближайшие друг к друзу в алфавитном порядке, как здесь К и }*. Это будет означать, что эти два числа v, г, так соотносятся между собой, что одно из них необходимо будет единицей, а другое при етом безразлично какое. Допустим, что мы имеем четыре такого рода числа: iA, r^, pP, gv. Ясно, что они должны подразделяться на пары так, чтобы какое-нибудь из v^, г^ и какое-нибудь из р^, q^ необходимо было единицей. Но если пары образованы неправильно, как и^, р^, нет никакой необходимости, чтобы одно из двух было единицей, ибо может случиться, что и г, и q7 являются единицами и потому из остальных ни одно не является единицей. Таким образом, для того чтобы можно было выделить пары, нужно прибегнуть к упомянутым мною наблюдениям. Но не следует забывать, что применение ограничивается лишь частноутвердительным предложением, потому что в этом случае необходимо, чтобы одно из чисел-коэффициентов было единицей, как об этом уже говорилось в вышеприведенной таблице. Я не без умысла применил именно экспоненты, а не какой-нибудь иной способ выражения, потому что таким образом я оставляю свободными такие буквы, как и, г, что весьма удобно; здесь я иногда прибегаю для простоты к начальным буквам терминов в примерах, разъясняющих суть дела, как выше: Н равн. г4д т. е. человек (homo) — это то же, что

 

==512

 

разумное (rationale) животное (animal). Но я не хотел умножать буквы v, r на другие буквы для выражения нашего чередования, ибо каким же образом в том случае эти другие отличались бы от остальных и как бы обозначили бы соответствующим образом равные, иначе как составив характеры или применив числа? Первое занимает много времени для написания, второе при написании нарушило бы точность равенства, ибо вы когда-нибудь должны были бы эксплицировать эти числа через единицу и сказать, например, что 3 равн. 1, что несообразно, хотя 3 мы берем здесь в качестве числа, а не характера. Для них одних нельзя было выделить определенные греческие или латинские буквы, потому что мы уже достаточно заняли их и их осталось довольно мало, тем более что, как я сказал, мы хотели бы, когда это удобно, применять начальные буквы терминов, а потому эти буквы не должны быть занятыми. Но я говорю об этом между прочим, чтобы тем, кто глубже заинтересуется этим, были ясны наши соображения.

 

==513