ИССЛЕДОВАНИЯ УНИВЕРСАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

 

Для введения универсального исчисления необходимо придумать для каждого термина характеристический знак, так чтобы из последующей связи знаков сразу же можно было бы установить истинность предложений, построенных из этих терминов.

 

Наиболее удобными знаками я считаю числа. С ними очень легко обращаться, они могут быть применены к любым вещам и отличаются точностью. Характеристические числа каждого данного термина образуются в том случае, когда характеристические числа терминов, из которых складывается понятие данного термина, будучи помноженными друг на друга, производят характеристическое число данного термина.

 

Поэтому необходимо, чтобы в любом истинном общеутвердительном предложении характеристическое число субъекта могло точно делиться на характеристическое число предиката. Пусть «Всякое золото есть металл». Точно так же — «Всякий треугольник есть трехсторонник». Такого рода предложение говорит только о том, что предикат находится в субъекте, и потому характеристическое число предиката находится в характеристическом числе субъекта и будет включаться так, как об этом было сказано, т. е. множители будут входить в результат умножения, равно как делители — в делимое, ибо результат такого умножения всегда может быть точно разделен на множитель.

 

Далее, термины бывают положительные или отрицательные. Например, положительный термин — «человек»,. отрицательный — «не- человек». Положительный термин может быть выражен отрицательно, например «бесконечное» (что то же самое, что абсолютно наибольшее), точно так же отрицательный термин может быть выражен положительно, как, например, «грех», что есть беззаконие.

 

Противоречивыми терминами являются те, из которых один положительный, а второй отрицательный по отношению к этому положительному, например «человек» и «не- человек». В этом случае необходимо соблюдать сле-

 

==533

 

дующее правило: если даны два предложения с одним и тем же единичным субъектом, предикатами которых являются противоречащие термины, то одно из этих предложений необходимо является истинным, второе — ложным. Я повторяю: с одним и тем же субъектом, например: «Это золото есть металл», «Это золото есть не- металл». Далее, это единственное предложение (ведь из этих двух — «В есть А» и «В есть не-Л» — одно истинно, другое ложно) содержит в себе четыре следующих предложения.

 

I. Если истинно предложение «В есть А», тогда ложно. предложение «В есть не-Л».

 

II. Если истинно предложение «В есть не-Л», тогда ложно предложение «В есть Л». '

 

III. Если ложно предложение «В есть А», тогда истинно предложение «В есть не-Л». "

 

IV. Если ложно предложение «В есть не-Л», тогда истинно предложение «.В есть А».; Т. е., вообще говоря, если одним из терминов условного предложения является одно предложение и один атрибут предложения, то другим термином будет другое предложение в другой атрибут. Предложениями, следовательно, будут «В есть Л» и «В есть не-Л», атрибутами же. их являются «истинное предложение», «ложное предложение» 1.

 

Ложное предложение определяется как такое, которое будет истинным, если в качестве его предиката взять отрицательный термин. Из приведенных выше возникнут следующие [предложения].

 

I. Если истинно предложение «В есть Л», тогда истинным будет следующее: «В есть не-не-Л».

 

II. Если истинно предложение «В есть не-Л», тогда, истинно предложение «В есть не-Л», которое является тождественным.

 

III. Если истинно предложение «В есть не-Л», тогда, истинно предложение «В есть не-Л», также тождественное.

 

IV. Если истинно предложение «В есть не-не-Л», тогда истинно предложение «В есть Л».

 

Определения..1 Противоречивые термины — это те, один из которых образуется присоединением отрицания к другому. Отсюда следует, что их может быть только два и «не-не-Л» это то же самое, что «Л».

 

==534

 

Истинное предложение — такое, предикат которого содержится в субъекте, т. е. находится в нем. И если на место каких-то терминов подставить эквивалентные, т. е. другие, из которых они составлены, то окажется, что все термины, эквивалентные предикату, одновременно находятся среди терминов, эквивалентных субъекту. Неистинное предложение, т. е. ложное, есть такое, где подобного не происходит 2.

 

Ложное же предложение есть то же самое, что неистинное. Так что эти два термина, «истинный» и «ложный», являются противоречивыми. Отсюда и прочие могут быть доказаны из некоторых таких предложений. Мы можем подняться еще выше и взять, например, такое: Если предложение «В есть Л» есть истинное, тогда предложение fiB есть не-А» есть ложное. И так как это предложение аВ есть Л» в свою очередь является субъектом предложения, а предикатом является истинное, отсюда вместо субъекта это предложение <сВ есть А» напишем Р, а вместо предиката истинное напишем «. И поскольку «ложное» есть то же самое, что «не- истинное» (из определения термина), постольку появится такое предложение: Если предложение «р есть та» истинное, тогда предложение ф есть не-к» ложное. Т. е.:

 

Если это / (р) предло-

 

врсдложе- 1 жение <

 

ние есть 1 есть

 

истинное I(я) истинное

 

В есть А

 

то это предложение есть ложное

 

(р) предло-t В жение < есть есть [ А (не -к)ло}кное

 

т. е., проще говоря, если истинно, что какое-то предложение истинно, то ложно, что оно ложно. И то же самое в более сокращенном виде: если предложение истинно,) то ложно, что оно ложно. Если предложение истинно,] тогда следующее предложение: «Предложение истинно» — истинно.

 

Во всяком общеутвердительном предложении предикат содержится в субъекте и потому характеристическое число субъекта может делиться на характеристическое число предиката.

 

Во всяком частноутвердительном предложении характеристическое число субъекта, умноженное на другое число, может делиться на характеристическое число предиката; поэтому какое-нибудь частноутвердительиое предложение всегда может быть выражено в терминах чисто утвердительных и составленных из чисто утвердительных,

 

==535

 

ибо в таком случае никогда не возникает никакой несопоставимости.

 

Я не могу удовлетворительно выразить отрицание какого-нибудь термина, например «не- человек», через знак минус, потому что это будет касаться всего целого термина, чего в данном случае быть не должно. Ведь когда я говорю «ученый не- умный», я специально говорю, что это ученый, 1:о не умный, хотя мог бы сказать «умный не- ученый», но в таком случае я говорю нечто иное.

 

Если я скажу «ученый не- умный, не- справедливый», я не могу выразить это формулой +d —Р —], ибо получилось бы -\-dpj.

 

Можно было бы к числу или к букве присоединить, епак квадратного корня, ибо несопоставимые термины могут быть как-то выражены через несоизмеримые числа. как, например, а и }^а; подобно тому как «нет-нет» даст утверждение, так }^а Ч/а дает а.

 

Однако разница здесь состоит в том, что скорее это обозначает, что У /а есть а, ибо, если даже сложить «несправедливый» и «несправедливый», отсюда не получится «справедливый».

 

Если одно есть целое, а другое — дробь от него, они будут несопоставимы, ибо, помноженные друг на друга, исчезнут, и тогда каким же образом мы сможем судить, что предложение является невозможным, если не по тому, что результат не может больше делиться ни на один из них? Конечно же не сможет, если только не произведет новую дробь. Далее, если мы захотим узнать, содержится ли отрицательный термин в каком-нибудь термине, разделим термин на этот отрицательный, получится противоречащий отрицательному, т. е. число, которому присущ утвердительный [термин]. Таким образом, ясно, что деление не получается 3.

 

U.A. «Всякое Н есть А», следовательно, «Н равн. гА». Г.А. «Пек. А есть Н», следовательно, «гЛ равн. vH». Можем просто вместо U.N. употребить: U.N. «Ни одно Н не есть В», следовательно, «уЯ не рави. гВ».

 

P.N. «Нек. А не есть Н», следовательно, «Я не равн. гА». Но чтобы выразить это в числах, будем считать, что «не- человек» означает все что угодно, кроме человека. Представляется, что это термин единицы, который есть то же самое, что и термин сущего, т. е. любого [существа].

 

Не-человек будет у — II. Всякий человек есть не -камень. т. с.:

 

==536

 

не-L рав"' не-/ Некоторое А есть не-Я. Следовательно, —'—— ['] —у-

 

Таким образом, / дает термин, первоначально несопоставимый, который есть в человеке, а противоречащий ему — в камне.

 

А может быть, вместо чисел удобнее выразить так: всякое отрицаемое число отделим от другого знаком «не-»,. например «ученый не- умный, не- справедливый», и будем писать «йне-ру», а если только «неумный, несправедливый», будем писать «Z не-рУ». Если же в свою очередь будет отрицаться этот термин — «ученый не- умный, не - справедливый», очевидно получится «справедливый, умный неученый» и будем писать «pj не-d». Таким образом мы не будем смешивать отрицаемые термины с утверждаемыми и будем знать, что все делители числа, о котором идет речь, суть отрицания. Ведь отрицаемые должны равняться отрицаемым, утверждаемые — утверждаемым: в равенстве...4

 

==537