ЭЛЕМЕНТЫ ИСЧИСЛЕНИЯ

 

(1) Термин есть субъект или предикат категорического предложения. Таким образом, я понимаю под термином не знак 1 и не связку. Следовательно, когда говорится: «мудрец верит», термином будет не «верит», а «верящий», т. е. это то же, как если бы я сказал «мудрец есть верящий».

 

(2) Под предложениями я понимаю здесь категорические предложения, если я не оговариваю иное; категорическое же предложение есть основание для всех остальных; модальные, гипотетические, дизъюнктивные и все другие предполагают категорическое предложение. Категорическим я называю предложение «Л есть В» либо «4 не есть В», т. е. ложно, что А есть В. Знак может варьироваться, так что предложение является общим и понимается о всяком субъекте либо частным, т. е. — о некотором.

 

(3) Пусть любому термину будет приписано характеристическое число, которое будет использовано в исчислении, как сам термин используется в рассуждении. Числа же я выбираю по мере того, как пишу, и позднее я употреблю другие знаки как для чисел, так и для самой речи. В данный же момент числа особенно полезны своей точностью и легкостью употребления, и, кроме того, становится очевидно, что в понятиях все столь же четко определено, как и в числах.

 

(4) Правило нахождения соответствующих характеристических чисел сводится к одному: если понятие данного термина составляется прямо из понятий двух (или более) других терминов, то характеристическое число данного термина должно быть получено путем умножения друг на друга характеристических чисел терминов, составляющих понятие данного термина. Например, так как человек есть разумное животное (золото есть самый тяжелый металл), то отсюда, если число «животного» («металла») а есть 2 (т есть 3) и «разумного» («самого тяжелого») г есть 3 (р есть 5), число «человека» h будет тем: же, что аг, т. е. в этом примере 2-3, или 6 (число «золота», v. е. «солнца» 2, s — то же, что тр, т. е. 3-5, или 15).

 

(5) Мы будем использовать буквы, как выше a, r, h (т, р, s), либо когда нет чисел, либо когда они рассматри-

 

==514

 

ваются по крайней мере не в специфическом, а в общем значении, что нам и предстоит делать здесь, излагая элементы этого исчисления, подобно тому как это обычно делается в символической алгебре, т. е. в образной арифметике (Arithmetica figurata), чтобы не быть вынужденными на отдельных примерах представлять то, что мы можем дать единожды и сразу для всего бесконечного числа примеров. Ниже я объясню способ использования букв в этом случае

 

(6) Впрочем, правила, изложенного в пункте 4, достаточно, чтобы объять нашим исчислением всю совокупность вещей целого мира, в той мере, в какой мы обладаем отчетливыми понятиями о них, т е. насколько мы знаем некоторые их реквизиты, с помощью которых, после того как мы мало помалу изучили их, мы можем отличить их от любых других, или насколько мы можем дать им определение. Ведь эти реквизиты суть не что иное, как термины, понятия которых образуют понятие, которое мы имеем о вещи. Большинство вещей мы можем отличить от других посредством их реквизитов, и, если есть такие, реквизиты которых трудно обозначить, мы припишем им какое-нибудь простое число и будем пользоваться им для обозначения других вещей. Таким образом мы сможем найти и доказать с помощью нашего исчисления, во всяком случае, все предложения, которые могут быть доказаны без разложения вещи, временно принимаемой в качестве простой. Так Евклид в своих доказательствах нигде не употребляет определения прямой линии, но вместо него использует некие [предположения], принимаемые за аксиомы; Архимед же, желая идти дальше, вынужден разлагать саму прямую линию и определять ее как кратчайшую между двумя точками Этим путем, если не во всем, то по крайней мере в бесчисленном множестве вещей, мы откроем и уже доказанное другими, и то, что другие когда-нибудь смогут доказать из уже известных определений и аксиом, а также экспериментов. И вот в чем наше преимущество: с помощью чисел мы сможем тотчас же судить, доказаны ли они или нет, и то, что другие [смогли сделать] с величайшим напряжением ума или случайно, мы достигаем с помощью одних лишь характеристических знаков и точного, истинно аналитического метода; поэтому то, на что в ином случае смертным потребовались бы многие тысячелетия, мы сможем совершить за столетие.

 

==515

 

(7) Для того чтобы стало ясным употребление в предложениях характеристических чисел, следует иметь в виду, что всякое истинное общеутвердительное категорическое предложение означает не что иное, как некую связь предиката и субъекта, связь, которую я постоянно имею здесь в виду; т. е. можно сказать, что предикат находится в субъекте, или содержится в субъекте, будет ли он рассматриваться абсолютно и в себе или по крайней мере в каком-то примере, т. е. о субъекте можно сказать, что он указанным выше способом содержит предикат, т. е. что понятие субъекта либо само по себе, либо с некоторым добавлением включает понятие предиката, а тем самым субъект и предикат относятся друг к другу либо как целое к части, либо как целое и совпадающее [с ним] целое, либо как часть к целому. В двух первых случаях предложение является общеутвердительпым; так, когда я говорю: «Всякое золото есть металл», я этим хочу только сказать, что в понятии золота непосредственно содержится понятие металла, ибо золото есть самый тяжелый металл. И когда я говорю: «Всякий благочестивый счастлив», я не хочу сказать ничего иного, кроме того, что связь понятий «благочестивый» и «счастливый» такова, что в совершенстве постигнувший природу благочестия поймет, что природа счастья включается в псе непосредственно. Но во всех случаях, когда либо субъект, либо предикат представляют часть или целое, всегда имеет место частноутвердительное предложение. Например: «Некоторый металл есть золото»; ведь хотя металл сам по себе не содержит золота, однако некоторый металл с некоторым дополнением, т. е. специфическими свойствами (напр., то, что составляет большую часть венгерского дуката), по природе таков, что включает природу золота. Но между субъектами общего и частного предложений существуют различия в способе содержать нечто. Ибо субъект общего предложения, рассматриваемый в себе и взятый абсолютно, должен содержать предикат, так что понятие золота, рассматриваемое в себе и взятое абсолютно, включает понятие металла. Ведь понятие золота есть «самый тяжелый металл». Но в частноутвердительном предложении достаточно, чтобы было сделано какое-то добавление. Понятие металла, рассматриваемое абсолютно и взятое само по себе, не включает понятие золота, и, чтобы оно его включало, необходимо нечто добавить, а именно частный признак; ведь существует какой то определен-

 

==516

 

ный металл, который содержит понятие золота. В дальнейшем, когда мы будем говорить, что термин содержится в термине или понятие — в понятии, мы будем иметь в виду «просто» и «в себе».

 

(8) Отрицательные же предложения лишь противоречат утвердительным и утверждают, что последние ложны. Так, частноотрицательное предложение просто отрицает то, что утвердительное предложение является общим. Когда я говорю: «Некоторое серебро нерастворимо в обычной крепкой водке» 3, я хочу сказать одно: общеутвердительное предложение «Всякое серебро растворимо в обычной крепкой водке» является ложным. Ведь если верить некоторым химикам, существует противоположный пример — то, что они называют «связанным серебром». Общеотрицателъное предложение просто противоречит частноутвердительному. Например, если я говорю: «Ни один преступник не является счастливым», я имею в виду, что ложно, что некоторый преступник счастлив. Таким образом, ясно, что из утвердительных могут быть поняты отрицательные, и наоборот.

 

(9) Далее, во всяком категорическом предложении имеются два термина. Два любых термина, поскольку о них говорится, что они «находятся в» или «не находятся в», т. е. содержатся или не содержатся, различаются следующим образом. Либо один содержится в другом, либо нет. Если один содержится в другом, то один равен другому либо они различаются как целое и часть. Если ни один нe содержится в другом, то они либо содержат нечто общее, но не очень отдаленное, либо совершенно различаются. Но разъясним эти разновидности по порядку.

 

(10) Два взаимосодержащих и равных термина я называю совпадающими. Например, понятие треугольника совпадает в результате с понятием трехсторонней фигуры, т. е. в одном понятии содержится столько же, сколько во втором, хотя на первый взгляд это не бывает очевидным; однако если кто-нибудь проведет в равной мере разложение и того и другого, он в конце концов придет к одному результату.

 

(11) Два взаимосодержащих, но несовпадающих термина называются род и вид. Что касается понятий, или составляющих терминов (как они мною рассматриваются здесь), то они различаются как часть и целое, так что понятие рода является частью, а понятие вида — целым, поскольку составляется из рода и отличительного при-

 

==517

 

знака. Например, понятие золота и понятие металла различаются как часть и целое, ибо в понятии золота содержится понятие металла, а кроме того, еще нечто, например понятие самого тяжелого металла. Таким образом, понятие золота больше понятия металла'.

 

(12) Схоластики говорят иначе, имея в виду не понятия, а примеры, являющиеся объектами общих понятий. Поэтому они говорят, что понятие металла шире понятия золота, ибо оно содержит больше видов, чем золото; и если бы мы захотели перечислить все золотые предметы, с одной стороны, и металлические предметы — с другой, последних конечно же оказалось бы больше, к тому же первые содержались бы во вторых как часть в целом. Принимая во внимание это соображение, с помощью соответствующих знаков мы могли бы доказать все правила логики посредством исчисления, несколько отличного от принятого здесь — полученного просто обращением нашего исчисления. Но я предпочитаю ориентироваться на общие понятия, т. е. идеи и их комбинации, потому что они не зависят от существования индивидуальных предметов. Поэтому я утверждаю, что понятие золота больше понятия металла, ибо для понятия золота необходимо большее число компонентов, чем для понятия металла, и сложнее произвести золото, чем какой-нибудь другой металл. Итак, наше словоупотребление не противоречит здесь языку схоластиков, но их надо тщательно различать. Впрочем, любому, кто займется этим вопросом, будет ясно, что я ничего не меняю в способах выражения без определенных оснований и соображений пользы.

 

(13) Если ни один из терминов не содержится в другом, они называются раздельными, и тогда опять-таки, как я уже сказал, они либо имеют нечто общее, либо различаются совершенно. Имеют нечто общее те, которые объединяются в одном и том же роде и которые можно было бы назвать со -видами, как, например, человек и животное обладают общим понятием живого существа, золото и серебро — металла, золото и купорос — общим понятием минерала. Отсюда ясно также, что два термина имеют больше или меньше общего содержания в зависимости от большей или меньшей отдаленности их рода. Ведь если род очень отдален, тогда весьма незначительным будет то, что виды имеют общего. И если род будет еще больше отдален, мы назовем такие вещи гетерогенными, т. е. совершенно различными, как тело и дух;

 

==518

 

не потому, что у них нет ничего общего, во всяком случае и то и другое — субстанции, но потому, что этот общий род весьма отдален. Отсюда ясно: следует называть нечто гетерогенным или нет — это вопрос сравнения. Для нашего же исчисления достаточно, чтобы две вещи не имели в качестве общего ни одного понятия среди установленных и определенных нами, хотя, может быть, они обладают другими общими им понятиями.

 

(14) Перенесем теперь все сказанное нами о терминах, в различной мере содержащих друг друга или не содержащих, на их характеристические числа. Это легко сделать, поскольку в пункте 4 было сказано, что если термин участвует в составлении другого термина, т. е. если понятие термина содержится в понятии другого термина, то характеристическое число составляющего термина участвует путем умножения в образовании характеристического числа, которое будет взято вместо составляемого термина; или, что то же самое, характеристическое число составляемого термина, т. е. содержащего другой, делится на характеристическое число составляющего термина, т. е. находящегося в другом. Например, понятий животного участвует в составлении понятия человека, и, таким образом, характеристическое число животного а (напр., 2) вместе с каким-то другим числом г (напр., 3) будет множителем числа аг, или h (2-3, или 6), а именно характеристического числа человека. Поэтому необходимо, чтобы число аг, или h (т. е. 6), могло делиться на а (т. е. на 2).

 

(15) Когда два термина совпадают, например «человек» и «разумное животное», тогда и числа h и аг в результате совпадают (как 2-3 и 6). Поскольку, однако, один термин таким образом содержит другой, хотя и взаимообратимо, ибо «человек» содержит «разумное животное» (и ничего, кроме этого) и «разумное животное» содержит «человека» (и ничего, кроме того, чего бы уже не содержалось в человеке), необходимо, чтобы числа h и аг {2-3 и 6) также содержали друг друга, что в любом случае истинно, ибо они совпадающие, а одно и то же число в любом случае содержится в самом себе. Кроме того, необходимо также, чтобы одно могло делиться на другое, что также истинно, ибо, если какое-то число разделится само на себя, получится единица. Таким образом, сказанное нами в предыдущем пункте о том, что если один термин содержит другой, то его характеристическое число должно

 

==519

 

делиться на характеристическое число второго, имеет место и для совпадающих терминов *.

 

(16) Таким образом, с помощью характеристических чисел терминов мы можем знать также и то, какой именно термин не содержит другой. Ведь следует лишь проворить, может ли число одного без остатка разделить число другого. Например, если характеристическое число человека принять за 6, а обезьяны — за 10, ясно, что ни понятие обезьяны не содержит понятия человека, ни наоборот, потому что ни 10 не может точно делиться на 6, и наоборот, 6 на 10. Если, следовательно, спросить, содержится ли в понятии «справедливое» понятие «мудрое», т. е. действительно ли для мудрости не требуется ничего, кроме того, что уже содержится в справедливости, нужно будет только проверить, может ли характеристическое число «справедливого» делиться точно на характеристическое число «мудрого»; и если деление не получается, ясно: для мудрости требуется что-то еще, чего не требуется для справедливости, а именно знание оснований, ибо кто-то может быть справедливым в силу привычки, т. е. обычая, будучи неспособным в то же время привести основания того, что он делает. Каким же образом можно с помощью характеристических чисел найти этот необходимый минимум, который требуется, и что следует добавить, об этом я скажу позднее.

 

(17) Таким образом, отсюда мы можем знать, является ли истинным некое общеутвердительное предложение. Ведь в нем понятие субъекта, взятое абсолютно и неопределенно и вообще рассматриваемое само по себе в целом, всегда содержит понятие предиката. Например, «Всякое золото есть металл», т. е. понятие металла содержится в общем понятии золота, рассматриваемом само по себе, так что все, что принимается за золото, тем самым принимается за металл, ибо все реквизиты металла (быть ощутимо однородным, плавиться в огне, по крайней мере при определенных условиях, в жидком состоянии не пропитывать погруженные в него инородные тела) содержатся среди реквизитов золота. Мы объяснили это подробнее в 7-м пункте. Таким образом, если мы хотим узнать, всякое ли золото есть металл (ведь можно, например, сомневаться, является ли металлом гремучее золото 5, ибо оно имеет форму порошка и в огне взрывается, а не плавится), нам необходимо только выяснить, присуще ли ему определение металла, т. е., коль скоро мы имеем

 

==520

 

характеристические числа, простейшим образом узнать, делятся ли характеристическое число золота на характеристическое число металла.

 

(18) Однако в частноутвердительном предложении нет необходимости, чтобы предикат присутствовал в субъекте, рассматриваемом сам ко себе и абсолютно, т. е. чтобы понятие субъекта салю по себе содержало понятие предиката, но достаточно предикату содержаться в каком-то виде субъекта, т. е. чтобы понятие какого-то вида субъекта содержало понятие предиката, хотя бы и не было выражено, каков именно этот вид. Отсюда если сказать: «Некоторый опытный человек есть благоразумный», то этим не говорится, что в понятии «опытное», рассматриваемом в себе, содержится понятие «благоразумное»; но это и не отрицается, и для нашей цели достаточно, что какой-то вид «опытного» обладает понятием, содержащим понятие «благоразумное», хотя, может быть, и не выражается, каков именно этот вид; т. е. хотя здесь и не выражено, что лишь тот опытный благоразумен, который обладает к тому же естественной способностью суждения, однако достаточно, что подразумевается, что некоторый вид «опытности» включает «благоразумие».

 

(19) Более того, если понятие субъекта, рассматриваемое в себе, содержит понятие предиката, то в любом случае понятие субъекта с добавлением, т. е. понятие вида субъекта, будет содержать понятие предиката. Нам этого достаточно, так как, говоря, что предикат присущ вту субъекта, мы не отрицаем того, что предикат присутствует в самом субъекте. Так, мы можем сказать, что некоторый металл в огне (соответствующим образом поддерживаемом) становится жидким, хотя мы могли бы утверждать это с большей пользой и в более общей форме: «Всякий металл в огне и т. д.». Однако и частное утверждение может найти свое употребление, ибо иной раз оно легче доказывается, чем общее, п мы удовлетворяемся частными предложениями.

 

(20) Таким образом, поскольку для частноутвердительного предложения не требуется ничего другого, кроме того, чтобы вид субъекта содержал предикат, отсюда следует, что субъект относится к предикату либо как вид к роду, либо как вид к чему-то с ним совпадающему, т. е. взаимообратимому атрибуту, либо как род к виду, т. е. понятие субъекта будет выступать по отношению к понятию предиката либо как целое к части, либо как целое

 

==521

 

к совпадающему с ним целому, либо как часть к целому (см. выше, п. 7 и 11).

 

Как целое к части — когда понятию субъекта как вид присуще понятие предиката как рода, например если дикий гусь будет субъектом, птица — предикатом. Как целое к совпадающему с ним целому — когда две равно сильные вещи утверждаются взаимно друг о друге, например когда треугольник — субъект, а трехсторонник — предикат. Наконец, как часть к целому — например, когда металл есть субъект, а золото — предикат. Таким образом, мы можем сказать: «Некоторый дикий гусь есть птица», «Некоторый треугольник есть трехсторонник» (хотя два этих предложения я мог бы высказать как общие), наконец, «Некоторый металл есть золото». В других случаях частноутвердительное предложение не имеет места. Доказываю я это следующим образом: если вид субъекта содержит предикат, то он во всяком случае будет содержать его либо как совпадающий с ним, либо как часть; если он содержит его как равный себе, т. е. совпадающий, тогда во всяком случае предикат есть вид субъекта, так как совпадает с видом субъекта; если же вид субъекта содержит предикат как часть, предикат будет родом вида субъекта согласно пункту 11; таким образом, предикат и субъект будут двумя родами одного и того же вида. Два рода одного и того же вида либо совпадают, либо, если не совпадают, необходимо относятся друг к другу как род и вид. Это легко показать, поскольку понятие рода формируется простым отбрасыванием от понятия вида, т. е. когда из вида, общего для двух родов, оба рода образуются благодаря беспрерывному отбрасыванию (как нечто остающееся, когда будет отброшено все лишнее), один оказывается перед другим, и один будет целым, а другой — частью 6. Более того, здесь мы имеем паралогизм и вместе с тем рушится многое из того, что мы сказали до сих пор, ибо я вижу, что частноутвердительное предложение имеет место даже тогда, когда ни тот ни другой [термин] не есть ни род ни вид, как в случае [предложения] «Некоторое животное есть разумное», лишь бы только эти термины были сопоставимы. Отсюда ясно, что нет никакой необходимости в том, чтобы субъект мог делиться на предикат или предикат на субъект. А на этом мы до сих пор строили многое. Следовательно, мы рассуждали более ограниченно, чем это требуется, а поэтому начнем рассуждение снова

 

==522