ПРАВИЛА, ПО КОТОРЫМ МОЖНО С ПОМОЩЬЮ ЧИСЕЛ СУДИТЬ О ПРАВИЛЬНОСТИ ВЫВОДОВ, О ФОРМАХ И МОДУСАХ КАТЕГОРИЧЕСКИХ СИЛЛОГИЗМОВ

 

Я вывел эти правила языка более глубокого основанного и с небольшими изменениями могу приспособить их к отдельным, гипотетическим и любым другим силлогизмам, различным образом приумноженным, продолженным, преобразованным и видоизмененным, так что из суммы чисел даже в очень длинных цепях рассуждений будет ясно, надежен ли вывод. Поскольку, однако, до сих пор логики могли рассматривать только более общие и простые, расположенные в определенном порядке аргументы, а все прочие аргументы были вынуждены нудно в них переводить, это не без основания отвращало людей от перенесения правил логиков в практическую область. Кроме того у меня еще есть способ нахождения определенных характеристических знаков, которые, будучи применены к вещам, позволяют судить, справедлив ли аргумент в силу материи или в силу формы; более того, исходя из того принципа могут быть найдены и другие способы, намного более важные и полезные практически, чем те, которых мне удалось достичь. Но сейчас мне достаточно лишь изложить простейший способ выражения в числах форм выводов, имеющих широкое хождение в школах.

 

Во всяком категорическом предложении имеются субъект, предикат, связка, качество, количество. Субъект и предикат называются терминами. Например, в предложении «Благочестивый есть счастливый» «благочестивый» и «счастливый» суть термины, из которых «благочестивый» есть субъект, «счастливый» — предикат, «есть» — связка. Качество предложения есть утверждение или отрицание. Так, предложение «Благочестивый есть счастливый» утверждает, а другое — «Преступный не есть счастливый» отрицает. Количество предложения есть его общность или частность. Так, когда я говорю: «Всякий благочестивый

 

==538

 

есть счастливый» или «Ни один преступный не есть счастливый», то это общие предложения, первое предложение — общеутвердительное, второе — общеотрицательное. Но если я скажу: «Некоторый преступный есть богатый», «Некоторый благочестивый не есть богатый», то это частные предложения, первое — утвердительное, второе — отрицательное. Теперь я перехожу к числам, которыми должны выражаться термины, и приведу соответствующие правила или определения.

 

(I) Если мы возьмем какое-либо предложение, то вместо каждого его термина, будь то субъект или предикат, будем писать два числа, одно — отмеченное знаком плюс(+), Другое — знаком минус (—). Например, пусть предложение будет: «Всякий мудрый есть благочестивый». Число, соответствующее «мудрому», будет +20 —211, число, соответствующее «благочестивому», будет +10 — 3. Я буду в дальнейшем называть их характеристическими числами каждого термина (притом произвольно взятыми). Нужно только, чтобы два числа одного и того же термина не имели общего делителя, потому что если вместо +20 — 21, замещающего «мудрого», мы поставили бы числа +9 — 6 (из которых оба делятся на одно и то же число, а именно на 3), то такие числа были бы непригодны. Вместо чисел мы можем также воспользоваться буквами, как в символическом анализе 2. Под буквами может пониматься любое число, отвечающее тем же условиям; например, если число «благочестивого» будет +о — Ъ^ при этом обязательно а и Ъ должны быть взаимно простыми, т. е. не иметь общего делителя.

 

(II) Истинное общеутвердительное предложение, например: Всякий мудрый есть благочестивый

 

+70-33 +cdh—ef

 

+10—3 +cd—e

 

есть такое, в котором любое характеристическое число субъекта (например, + 70 — 33) может точно, т. е. без остатка, делиться на характеристическое число с тем же знаком, принадлежащее предикату (+70 на +10 и —33 на — 3); так что, если + 70 разделить на + 10, получится 7 без остатка, если — 33 разделить на — 3„ получится 11 без остатка. И наоборот, когда это не получается, предложение ложно.

 

==539

 

(Ill) Частноотрицательное предложение истинно, когда общеутвердительное не истинно. И наоборот. Например: Некоторый благочестивый но есть мудрый.

 

+10-3 +cd—e

 

+70-33 +cdib—ef

 

Ясно, что ни + 10 не может делиться на + 70, ни — 3 не может делиться на — 33. Из этих двух недостатком даже одного было бы достаточно, для того чтобы сделать истинным Частноотрицательное предложение (либо, что то же самое, чтобы сделать общеутвердительное предложение ложным); так, если сказать: Некоторый мудрый но есть богатый, +70-33 +cdh—ef

 

+8—11 -rg-f

 

ясно, что + 70 невозможно точно разделить на + 8; этого достаточно, хотя —33 может делиться на — 11.

 

Теорема 1. Отсюда общеутвердительное и Частноотрицательное противополагаются друг другу как противоречивые и потому не являются ни одновременно истинными, ни одновременно ложными.

 

(IV) Истинное общеотрицателъное предложение, например: Ни один благочестивый не есть несчастный

 

+10—3 -т-cd—е

 

+5-14 +l—cm

 

есть такое, в котором два числа с разными знаками и относящиеся к разным терминам (как + 10 и — 14, поскольку первое имеет знак плюс, второе — знак минус, первое взято из субъекта, второе — из предиката) имеют общий делитель (а именно + 10 и — 14 оба могут точно делиться на 2). И наоборот, когда этого нет, предложение ложно.

 

Теорема 2. Отсюда общеотрицательное предложение может быть обращено просто. Т. е. из предложения: «Ни один благочестивый не есть несчастный» — следует: «Ни один несчастный не есть благочестивый». Или наоборот. Потому что безразлично, как это сказать и какой термин считать субъектом, а какой — предикатом; ведь в условие

 

==540

 

истинного общеотрицательного предложения не входит упоминание о различии субъекта и предиката, но достаточно того, чтобы число с одним знаком одного термина могло делиться на число с другим знаком другого термина, какой бы из этих двух терминов ни был субъектом или предикатом.

 

(V) Частноутвердителъное предложение истинно, когда общеотрицательное не является истинным. И наоборот. Например: Некоторый богатый есть несчастный, +11—9 +п—р

 

+5—14

 

+1 — cm

 

потому что ни + 11 и — 14, ни — 9 и + 5 не имеют общего делителя (иначе любой пары было бы достаточно, для того чтобы сделать общеотрицательное предложение истинным). Подобным же образом: Некоторый мудрый есть благочестивый, +70-33 +cdh—ef

 

+10-3 +cd —е

 

потому что ни + 70 и — 3, ни — 33 и + 10 не имеют общего делителя.

 

Теорема 3. Общеотрицательное предложение и частноутвердительное противополагаются друг другу как противоречивые, так что не могут быть одновременно правильным или одновременно ложными. Это ясно из сказанного.

 

Теорема 4. Частноутвердительное предложение может быть обращено просто, например: «Некоторый богатый есть несчастный», следовательно, «Некоторый несчастней есть богатый»; «Некоторый мудрый есть благочестивый» следовательно, «Некоторый благочестивый есть мудрый» Ясно, что на том же основании, на каком, как мы показали, общеотрицательное предложение (которое противоречит данному) обращается просто (см. теор. 2).

 

Таковы дефиниции, или условия, истинных категорических предложений в соответствии с их различным качеством и количеством, охватывающие основы всего логического исчисления, исходя из которых мы теперь с помощью одного лишь изложенного нами способа применения чисел докажем наиболее известные логические выводы.

 

==541

 

Эти выводы бывают или простые, или силлогистические Наиболее известные простые выводы — это подчинение, противоположение, обращение. Подчинением называется выведение частного из общего.

 

Теорема 5. Подчинение имеет место всегда, т. е. всегда из общего можно вывести частное.

 

Всякий мудрый есть благочестивый.

 

+70-33 +cdh—ef

 

+10-3

 

+cd—е

 

Следовательно, «Некоторый мудрый есть благочестивый». Я доказываю это следующим образом: — 33 может делиться на — 3 (поскольку это общеутвердительное предложение, по правилу II). Следовательно, + 70 и — 3 не имеют общего делителя (иначе * + 70 и — 33 имели бы один и тот же общий делитель, что противоречит правилу I). Подобным же образом + 70 может делиться на - 10 (по правилу II), следовательно, — 33 и + 10 не имеют общего делителя (ведь иначе * — 33 и + 70 также имели бы общий делитель, что противоречит правилу I). Следовательно, поскольку как + 70 и — 3, так и — 33 и — 10 не имеют общего делителя, частноутвердительное предложение, а именно: «Некоторый мудрый есть благочестивый» — будет истинным (по правилу IV). (Основание вывода, обозначенное через *, очевидно для каждого, понимающего природу чисел, потому что делитель делителя есть также делитель делимого. Таким образом, если, например, — 33 как третье число и + 10 как делитель имеют общий делитель, то это делитель делителя + 10 и числа — 33; он будет также делителем делимого на + 10, а именно + 70. Следовательно, из этого вытекало бы, что — 33 и +70 имеют общий делитель.)

 

Так же можно строить доказательство и в случае отрицательных предложений, например: Ни один благочестивый не есть несчастный.

 

+10-3

 

-\-cd—e

 

+5-14 +1 — cm

 

Следовательно, «Некоторый благочестивый не есть несчастный». Ибо поскольку + 10 и — 14 имеют общий делитель (так как предложение общеотрицательное, по пра-

 

==542

 

вилу IV), следовательно, — 3 и — 14 не имеют общего делителя (иначе — 3 и + 10 имели бы также общий делитель, вопреки правилу I). Следовательно, — 3 не может делиться на — 14 (ведь иначе они имели бы общий делитель, потому что делитель делителя есть также делитель делимого). Итак, — 3 не может делиться на — 14. Следовательно, частноотрицательное предложение истинно (по правилу V). Что и требовалось доказать 3.

 

Эти два доказательства в высшей степени важны не для того, чтобы сделать ясное еще более очевидным, но для того, чтобы заложить основания нашего исчисления и для постижения гармонии. Во всяком случае, я только тогда в полной мере понял, что мною получены истинные законы исчисления, когда мне удалось построить эти два доказательства, от успеха которых зависело все. Смысл этого состоит в том, что, рассматривая общие понятия, я прежде всего искал переход от рода к виду: ведь я не рассматриваю род как нечто большее, чем вид, т. е. как целое, составленное из видов, как это обычно делают (и делают правильно, ибо индивидуумы рода относятся к индивидуумам вида как целое к части), но я рассматриваю род как часть вида, поскольку понятие вида производится из понятия рода и отличительного признака. На этом принципе я построил настоящий способ исчисления, потому что я рассматривал не индивидуумы, а идеи. Однако на этом пути было чрезвычайно трудное нисхождение от рода к виду, поскольку это продвижение от части к целому. И я укрепил этот путь теми самыми доказательствами, с помощью которых продвигаются от общего к частному.

 

За подчинением следует противоположение. Противоположение бывает или противоречивым, когда два противоположенных предложения не могут быть одновременно истинными или одновременно ложными, что, как было сказано, имеет место между общеутвердительным и частноотрицательным предложениями (теор. 1) и между общеотрицательным и частноутвердительным предложениями (теор. 3), или противным, когда предложения не могут быть одновременно истинными, но могут быть одновременно ложными, или подпротиеным, когда они могут быть одновременно истинными, но не могут быть одновременно ложными.

 

Теорема 6. Общеутвердительное и общеотрицательное предложения противополагаются друг другу как противные. Например:

 

==543

 

Всякий мудрый есть богатый

 

+70—33 +cdh—ef

 

+8-11

 

+g-f

 

и ни один мудрый не есть богатый

 

не могут быть одновременно истинными. Потому что, если первое и второе одновременно истинны, из второго будет следовать: «Некоторый мудрый не есть богатый» (по Teop.5), первое же было: «Всякий мудрый есть богатый». Следовательно, два этих предложения будут одновременно истинными вопреки теореме 1. Однако они могут быть одновременно ложными. Потому что может оказаться, что ни + 70 не может делиться на + 8 (следовательно, первое ложно, по правилу II), ни + 70 и — 11 и — 33 и + 8 не имеют общих делителей (следовательно, второе ложно, по правилу IV). (Можно было бы взять и другой пример, где число, которое заменяло бы — 33, не могло бы делиться на число, заменяющее — 11, но результат был бы тот же.)

 

Теорема 7. Частноутвердительное и частноотрицательное предложения находятся в подпротивном противоположении друг к другу, т. е. могут быть одновременно истинными, но не одновременно ложными. Например: «Некоторый мудрый есть богатый» и «Некоторый мудрый не есть богатый». Это следует из сказанного выше, поскольку общим предложениям с противоположными знаками противополагаются как противоречивые частные (по теор. 1, 3); отсюда если первые истинны, то вторые ложны, и наоборот. Но первые могут быть одновременно ложными (по теор. 6), следовательно, вторые — одновременно истинными. Первые не могут быть одновременно истинными (по той же теор. 6), следовательно, вторые не могут быть одновременно ложными.

 

Обращение бывает или простое, или через ограничение. Простое обращение имеет место в общеотрицательном предложении, по теор. 2 («Ни один благочестивый не есть несчастный», следовательно, «Ни один несчастный не есть благочестивый», или наоборот), и в частно утвердительном, по теор. 4 («Некоторый богатый есть несчастный», следовательно, «Некоторый несчастный есть богатый», и наоборот). Обращение через ограничение имеет место в общеутвердительном предложении, как я это сейчас покажу. Ни то ни другое обращение (в силу формы) не имеет места

 

==544

 

в частноотрицательном предложении, я не говорю здесь в обращении через противопоставление, ибо оно вводит новый термин. Например: «Всякий мудрый есть благочестивый», следовательно, «Тот, кто есть неблагочестивый не есть мудрый». Т. е. «Ни один не - благочестивый не есть мудрый». Мы имеем здесь три термина: «мудрый», «благочестивый», «не - благочестивый», я же веду речь о простых выводах, в которых, сохраняются те же термины Кроме того, нет никакой необходимости в такого рода обращении для доказательства фигур и модусов силлогизмов. И свойства такого рода неопределенных терминов как «не -благочестивый», «не-несчастный» и т. д.» должны и могут быть доказаны с помощью нашего исчисления отдельно, точно так же как и медальных предложений Ведь они имеют много специфического, и, если использовать их, силлогизм может иметь четыре термина и все же быть правильным 4; имеется и многое другое, что уже не относится к данному вопросу, потому что цель состоит в том, чтобы с помощью исчисления показать общие модусы и фигуры трехтерминных категорических силлогизмов.

 

Теорема 8 Общеутвердительное предложение может

 

обращаться через ограничение, «всякий мудрый есть благочестивый». Следовательно, «Некоторый благочестивый есть мудрый». Ибо раз «Всякий мудрый есть благочестивый», следовательно (по теор. 5), «Некоторый мудрый есть благочестивый». Следовательно, (по теор. 4), «Некоторый благочестивый есть мудрый».

 

От простых выводов, в которых участвуют только два термина, я перехожу к трехтерминным выводам, т. е. к категорическим силлогизмам. Но тогда требуется несколько больше внимания к выбору подходящих чисел для терминов потому что один и тот же термин, а именно средний, присутствует в обеих посылках и потому его характеристические числа должны быть приспособлены к правилам каждой посылки. Для этого средний термин прежде всего должен быть приспособлен к одному из крайних, к большему или к меньшему, а затем другой крайний должен быть приспособлен к нему. Здесь следует заметать, что лучше приспосабливать субъект к предикату, а не наоборот как это станет ясным из вышеприведенных правил. Таким образом, если существует Какая-то посылка, в которой средний термин является субъектом, нужно начать с нее и взяв произвольно числа е, предиката, приспосо-

 

==545

 

бить к ним числа субъекта, т. е. среднего термина. Когда таким образом найдены числа среднего термина, к ним нужно приспособить также числа другого термина во второй посылке. Когда мы получили таким образом характеристические числа большего и меньшего терминов, становится ясным, подчиняются ли они закону, предписывающему формой заключения, т. е. выводится ли заключение из посылок в силу формы. Но для облегчения вывода чисел я укажу некоторые четкие правила 6.

 

==546