МАТЕМАТИКА РАЗУМА

 

(1) Законы категорических силлогизмов можно наилучшим образом доказать сведением к рассмотрению тождественных и различных. Ведь в предложении или высказывании мы произносим обыкновенно два или тождественных, или различных термина.

 

(2) Термин (например, «человек») в предложении воспринимается или как общий — о любом человеке, или как частный — о некотором человеке.

 

(3) Когда я говорю: «Всякое А есть В», я имею в виду, что любое из тех, что называется А, есть то же самое, что и нечто из тех, что называется В. Это предложение называется общеутвердительным.

 

(4) Когда я говорю: «Некоторое А есть В», я имею в виду, что что-то из тех, что называется А, есть то же самое, что и нечто из тех, что называется В. И это предложение есть частноутвердителъное.

 

(5) Когда я говорю: «Ни одно А не есть В», я имею в виду, что любое из тех, что называется А, отлично от любого из тех, что называется В, и это есть общеотрицательное предложение.

 

(6) Наконец, когда я говорю: «Некоторое А не есть В», я имею в виду, что что-то из тех, что называется А, отлично от любого из тех, что называется В, и это предложение называется частноотрицательным. Отсюда в утвердительных предложениях в силу формы предикат частный, в отрицательных — общий.

 

Могло бы быть и «Всякое А есть всякое В», т. е. все, что называются А, суть те же, что называются В, т. е. предложение взаимообратимое, но в наших языках оно не встречается. Подобным же образом мы не говорим: «Некоторое А есть то же, что и все В», ибо это мы выражаем, когда говорим: «Все В суть А». Было бы бесполезным говорить: «Ни одно А не есть некоторое В», т. е. что любое из тех, что называется А, отличается от некоторых из тех, что называется В, ведь это ясно само собой, если только В не единично; значительно лучше сказать: «Некоторые из тех, что называется А, отличны от некоторых

 

==550

 

из тех, что называется В». Так совершенствуется логическая наука, переходя от предикации к тождеству.

 

(8)1 В данных примерах А есть субъект, В — предикат, Такого рода предложения называются категорическими.

 

(9) Таким образом, в указанном смысле ясно, что всякое утвердительное предложение (и только такое) имеет частный предикат, по п. 3 и 4.

 

(10) И всякое отрицательное предложение (и только такое) имеет общий предикат, по п. 5 и 6.

 

(11) Само предложение получает наименование общего или частного от общего или частного характера субъекта.

 

(12) Силлогизмы, называемые простыми категорическими, выводят из двух предложений третье, что осуществляется благодаря двум принципам, первый из которых гласит: тождественные третьему тождественны друг другу, например если L тождественно М и М тождественно N то L и N тождественны.

 

(13) Второй принцип сводится к тому, что, если два различны между собой и один тождествен третьему, второй отличен от третьего. Например, если L тождественно М и М отлично от N, то L и N также различны.

 

(14) Если же L отлично от М и N также отлично от М, отсюда не известно, тождественны ли L и N или нет, и может оказаться, что L тождественно N, но также и что L отлично от N.

 

(15) Отсюда сразу следует вывод, что из двух отрицательных предложений не может быть построен силлогизм; ибо здесь утверждалось бы, что L отлично от М и М также отлично от N.

 

Например, если я говорю: «Ни один человек не есть камень», «Ни одна собака не есть человек», смысл таков, что любой человек отличен от любого камня, любая собака отлична от любого человека, и, таким образом, здесь нет никакого основания для сравнения собаки и камня и выведения отсюда, тождественны ли они или различны. Это подобно тому, как если бы я сказал: «Некоторая собака не есть человек», ибо я во всяком случае утверждаю, что некоторая собака отлична от любого человека.

 

(16) Ясно также, что в простом категорическом силлогизме есть три термина; приводя нечто третье, которое мы сопоставляем с первым и вторым, мы пытаемся найти способ сопоставления друг с другом крайних терминов.

 

(17) Предложение, которое мы выводим из двух принятых, называется заключение; его субъект обычно назы-

 

==551

 

вают меньшим термином, предикат — большим термином, третий из терминов, который служит для сравнения этих крайних, называется средний.

 

(18) Два предложения, из которых мы выводим третье, а именно, заключение, называются посылками, в одной из которых меньший термин, а в другой больший сопоставляются со средним. Посылка, содержащая больший терцин, называется большее предложение, содержащая меньший термин — меньшее предложение. Средний термин находится в каждой из них.

 

(19) Отсюда ясно, что средний термин по крайней мере в одной из посылок должен быть общим, ибо мы не используем какое-то определенное содержание термина, но неопределенно либо все, либо некоторое содержание. Так, если средний термин в обоих случаях частный, нельзя точно сказать, что содержание среднего термина, используемое в одной посылке, то же самое, что и содержание среднего термина в другой, и поэтому нельзя сделать никакого заключения о тождественности или различии крайних. Например, если кто-нибудь скажет: «Некоторый человек есть счастливый», «Всякий ученый есть человек», отсюда нельзя сделать никакого вывода. Ибо это то же, что сказать: «Некоторый человек есть то же самое, что и некоторый счастливый» и «Всякий ученый есть то же самое, что и некоторый человек». Так как здесь дважды встречается «некоторый человек», то вполне может оказаться, что в одной посылке имеется в виду человек, отличный от человека в другой посылке, а поэтому отсюда невозможно привести никакого аргумента для сопоставления «ученого» и «счастливого», так чтобы сделать вывод о некотором или обо всяком ученом, тождествен ли он со всяким либо с некоторым счастливым или отличен.

 

(20) Также легко понять, что термин, частный в посылке, не становится общим в заключении, ибо в заключении не известно, является ли нечто тем же самым или отличным, если неизвестно, тождественно ли оно среднему термину в посылке или отлично от него. Таким образом, если мы сопоставляем только некоторое содержание термина, нельзя сделать вывод ни о чем, кроме того, что мы сопоставили.

 

(21) Не менее ясно, что если одна посылка отрицательная, то и заключение отрицательное, и наоборот, потому что тогда имеет место тот ход рассуждения, принцип ко-

 

==552

 

торого был указан в п. 13. А именно: если L тождественно М и М отлично от N, то L отлично от N.

 

(22) Существуют четыре фигуры простых категорических силлогизмов, различающиеся по положению среднего термина. Пусть меньший термин будет В, средний — С, больший — D. Заключение всегда — BD. Средний термин может быть субъектом в первой посылке и предикатом во второй, либо предикатом и в той и в другой, либо субъектом и в той и в другой, либо предикатом в первой, а субъектом во второй. Обычно мы ставим большее предложение на первое место, меньшее предложение — на второе.

 

Фигура I. CD. ВС. BD. Фигура II. DC. ВС. BD. Фигура III. CD. СВ. BD. Фигура IV. DC. СВ. BD.

 

Любая ли из этих фигур правильна и по каким законам, будет ясно из дальнейшего.

 

(23) Гласные буквы А, Е, I, О обозначают у нас качество предложений (т. е. утвердительные они или отрицательные) и количество (т. е. общие или частные)

 

А обозначает общеутвердительное Е общеотрицательное частноутвердительное частноотрицательное

 

(24) Количество субъекта и количество предложения совпадают, как и количество предиката и качество предложения, по п. 9, 10, 11. S будет обозначать общее, Р — частное, V, Y, Ґ — неопределенное. Количество предложения будет обозначаться знаком субъекта, качество — предиката. Таким образом, SBSD обозначает общеотрицательное предложение, SBPD — общеутвердительное, IBSD — частноотрицательное, IBID — частноутвердительное 2.

 

(25) Во всяком частноутвердительном предложении, и только в таком, оба термина частные, ибо субъект частный (п. 11) и предикат частный (п. 9).

 

Королларий. Следовательно, когда термин общий, предложение или общее, или отрицательное.

 

(26) В общеотрицательном предложении оба термина общие — и субъект (п. 11) и предикат (п. 10).

 

(27) (27) Если меньший термин в посылке частный, заключение частное, потому что крайний термин, частный в посылке, является также частным в заключении (п. 20);

 

==553

 

меньший же, будучи частным в заключении, поскольку он является его субъектом (а. 17), делает частным и исключение (п. 11). „ Королларий. Если заключение общее, меньший термин s всюду общий.

 

(28) Если больший термин в посылке частный, заключение утвердительное; ибо он будет частным в заключении (п. 20), но там он является предикатом (п. 17), следовательно, заключение утвердительное (п. 9).

 

Королларий. Если заключение отрицательное, больший термин всюду общий.

 

(29) Если заключение отрицательное, большее предложение или общее, или отрицательное. Ибо если заключение отрицательное, больший термин всюду общий (королл. п. 28). Следовательно, и в большем предложении. Отсюда предложение будет или общее, если больший термин оказывается в нем субъектом (п. 11), или отрицательное, если больший термин в нем есть предикат (п. 10) 3.

 

(30) Если меньшее предложение отрицательное, большее предложение общее. Ибо большее — утвердительное (п. 15) и, кроме того, заключение отрицательное (п. 21); следовательно, больший термин в нем общий, а следовательно, и в большем предложении (п. 21), следовательно, большее предложение (п. 29) общее 4.

 

Королларий 1. Следовательно, если большее предложение частное, меньшее — утвердительное (по обращению предыдущего предложения).

 

Королларий 2. Не существует силлогизма, в котором большее предложение есть частноутвердительное, а меньшее — общеотрицательное, т. е. не существует модуса IEO.

 

(31) Если заключение общеутвердительное, силлогизм должен относиться к первой фигуре. Ведь заключение является общим (по предположению). Следовательно, меньший термин в нем общий (п. 11). Следовательно, меньший термин является общим в меньшем предложении (п. 20), но оно утвердительное (п. 21), потому что заключение (по предположению) утвердительно. Следовательно, общий термин не является в нем предикатом (п. 10); следовательно, меньший термин есть субъект в меньшем предложении. Таким образом, средний термин в нем есть предикат; откуда, поскольку предложение должно быть утвердительным (п. 9), средний термин в нем частный; следовательно (п. 19), средний термин в большем предложении будет общим, а большее предложение — ут-

 

==554

 

вердительным (п. 21), поскольку заключение утвердительное. Следовательно, средний общий термин в большем предложении не может быть предикатом, но должен быть субъектом. Следовательно, когда средний термин будет предикатом в меньшем предложении и субъектом в большем, силлогизм будет строиться по первой фигуре.

 

(32) Два частных предложения не составляют правильного силлогизма. Ибо всегда одна из посылок утвердительная (п. 15); если, следовательно, две посылки частные, одна из них частноутвердительная; но оба ее термина, т. е. крайний и средний, — частные (п. 25). Следовательно, средний является общим в другой посылке (п. 19); по так как она также частная (по предположению), средний общий термин не может быть в ней субъектом (п. 11), следовательно, он является в ней предикатом; таким образом (п. 10), посылка отрицательная. Крайний термин является субъектом, и, поскольку предложение частное, крайний термин будет частным (п. 11); следовательно, оба крайних являются частными, следовательно (п. 20), они являются частными и в заключении. Следовательно, заключение будет частноутвердительным (п. 25), что абсурдно, так как одна из приведенных посылок отрицательная и, следовательно (п. 21), заключение является отрицательным.

 

(33) Если та или другая посылка частная, заключение частное, т. е., если заключение общее, обе посылки общие. Ибо если заключение общее, меньший термин всюду общий (королл. п. 27), следовательно, он общий и в меньшем предложении. Но если заключение также утвердительное, меньший термин является там субъектом (п. 31); следовательно (п. 11), меньшее предложение является общим и средний термин там есть предикат, следовательно, средний термин там частный (п. 9). Следовательно, средний термин есть общий в большем предложении (п. 19), но там он является субъектом (п. 31), следовательно (по п. 11), и большее предложение также является общим. Следовательно, мы доказали наше положение для случая, если заключение общеутвердительное. Если же заключение общеотрицательное, оба крайних термина общие (п. 26). Следовательно, нет частноутвердительной посылки (п. 25), а если есть частная посылка, то она только частноотрицательная. Следовательно (по п. 15 и 31), другая посылка общеутвердительная. Крайний термин в ней, являясь общим (как было указано), будет субъектом (п. 9 и 11). Следовательно, средний термин в этой посылке будет пре-

 

==555

 

дикатом и частным (п. 9). Следовательно (п. 19), в другой посылке, а именно в частноотрицательной, он будет общим и, следовательно, будет в ней предикатом (п. 10). Следовательно, крайний термин в ней будет субъектом, но он общий, поэтому также абсурдно, что посылка должна быть частноотрицательная. Таким образом, ни одна посылка не может быть частной, будет ли заключение общеотрицательным или общеутвердительным. Что и следовало доказать.

 

Схолия. Если заключение частное, из этого не следует, что и посылка является частной, ибо всякая общая посылка одновременно является имплицитно частной 5. Но следует, что если заключение отрицательное, то и посылка отрицательная.

 

(34) Когда больший термин является субъектом в посылке и заключение отрицательное, большее предложение общее. Ведь поскольку заключение отрицательное, его предикат является общим (п. 10), а именно (п. 17) большие термином. Следовательно, он также является общим в большем предложении (п. 20), будучи в нем субъектом (по предположению). Следовательно (п. 11), само большее предложение общее. Что и требовалось доказать.

 

Королларий. Отсюда, когда больший термин является субъектом в посылке, а большее предложение частное, заключение утвердительное.

 

(35) Когда больший термин является предикатом в посылке, а заключение отрицательное, большее предложение отрицательное. Ибо, повторив сказанное в предыдущем доказательстве, имеем, что больший термин является в нем предикатом (по предположению). Следовательно (п. 10), само большее предложение отрицательное.

 

Королларий. Отсюда, когда больший термин является предикатом в посылке, а большее предложение утвердительное, заключение также утвердительное.

 

(36) Когда меньший термин является предикатом в посылке, а заключение общее, меньшее предложение отрицательное. Ибо если заключение общее, меньший термин в нем является общим (п. 11), а следовательно, и в посылке (п. 20), но в ней он является предикатом (по предположению). Следовательно (п. 10), она отрицательная.

 

Королларий, Следовательно, когда меньший термин является предикатом в посылке, а меньшее предложение утвердительное, заключение является частным.

 

(и7) Кс"3" 'поЯи^ц термин всюду является предикатов, Ьм

 

==556

 

т. е. во второй фигуре, заключение должно быть отрицательным. Ибо средний термин в одном случае должен быть общим (п. 19), но общий предикат делает предложение отрицательным (п. 10), следовательно, одна из посылок отрицательная. Следовательно (п. 21), заключение отрицательное.

 

Королларий. Отсюда, если заключение утвердительное, средний термин где-то является субъектом.

 

(38) В той же фигуре большее предложение всегда общее. Ведь поскольку заключение отрицательное (п. 37), больший термин в нем является общим (п. 10); следовательно, и в большем предложении он общий (п. 20), но в нем он — субъект (по предположению). Следовательно (п. 11), и самое предложение он делает общим.

 

(39) Когда средний термин всюду является субъектом, т. е. в третьей фигуре, заключение должно быть частным.

 

Допустим, что заключение общее, следовательно, меньший термин в нем является общим, следовательно (п. 20), он также общий и в меньшем предложении. Но в меньшем предложении он является предикатом (по предположению). Следовательно, меньшее предложение будет отрицательным (п. 10). Следовательно (п. 21), и заключение отрицательное, следовательно, и больший термин в заключении общий (п. 10). Следовательно, больший термин также и в большем предложении является общим (п. 20). Но в нем он — предикат (по предположению). Следовательно (п. 10), большее предложение будет также отрицательным. Таким образом, обе посылки отрицательные, что абсурдно по п. 15. Итак, когда средний термин всюду является субъектом, заключение должно быть частным. Что и требовалось доказать.

 

(40) Когда средний термин является то субъектом, то предикатом, если посылка, в которой он является предикатом, утвердительная, другая посылка будет общей. Ведь в первой средний термин будет частным (п. 9). Следовательно, во второй — общим (п. 19). Но в ней он — субъект (по предположению). Следовательно, само предложение будет общим (п. 11).

 

Королларий. Отсюда в четвертой фигуре, если большая посылка утвердительная, меньшая является общей.

 

Схолия. В случае первой фигуры выводить королларий бесполезно, но, если его сформулировать, он звучал бы так: в первой фигуре, если меньшая посылка утвердительная, большая — общая; это действительно верно,

 

==557

 

хотя этого недостаточно, поскольку меньшая посылка всегда утвердительная и...6

 

(41) Когда средний термин есть то субъект, то предикат, если посылка, в которой он является субъектом, частная, другая будет отрицательной. Доказывается таким же образом.

 

Королларий. Отсюда в четвертой фигуре, если меньшая посылка частная, большая будет отрицательной.

 

Схолия. Каждое из этих предложений может соединяться с другим, поскольку одно просто обращается в другое. А именно, не могут одновременно быть утвердительной та посылка, в которой средний термин есть предикат н частной 7 — та, в которой он — субъект.

 

(42) В первой и третьей фигурах меньшее предложение утвердительное. Ведь если бы меньшее предложение было отрицательным, неизбежно и заключение было бы отрицательным (п. 21), а когда заключение отрицательное и больший термин есть предикат в посылке (как в первой и третьей фигурах, п. 22), также отрицательное и большее предложение (п. 35). Следовательно, как большая, так и меньшая посылки были бы отрицательными вопреки п. 15.

 

(43) В первой фигуре большее предложение является общим. Ведь в ней меньшее предложение утвердительное (п. 42). Следовательно, и средний термин есть предикат меньшего предложения (п. 22), следовательно, средний термин в ней является частным (п. 9). Следовательно, средний термин является общим в большем предложении. Но средний термин в большем предложении есть субъект (п. 22). Следовательно (п. 11), большее предложение есть общее. Это следует также из п. 40 и 42.

 

(44) Если средний термин есть предикат меньшего предложения, большее предложение является общим. Ведь если средний термин есть предикат меньшего предложения, будет первая или вторая фигура (п. 22). Но в первой фигуре большее предложение общее (п. 43), и во второй фигуре большее предложение также общее (п. 38). Следовательно, это то, что нужно было доказать.

 

(45) В четвертой фигуре не являются одновременно большее предложение частным, а меньшее — отрицательным. Допустим, здесь, по п. 24, большее предложение будет частным PDfC а меньшее — отрицательным PCSB, тогда отрицательное заключение будет PBSD, но это абсурдно, потому что (п. 20) не может быть PD в большем * предложении и SD в заключении.

 

==558

 

(46) В четвертой фигуре не бывает одновременно меньшее предложение частным, а большее — утвердительным. Допустим, что это имеет место, тогда большее будет ^VDPC, меньшее РС^УВ; но в таком случае средний термин С в каждом из них является частным, что противоречит п. 19. Это может быть выведено также в качестве короллария из п. 40 или 41 10.

 

(47) Следовательно, любая фигура имеет два ограничения: в первой — большее предложение общее, меньшее — утвердительное; во второй — большее предложение общее, заключение отрицательное; в третьей — меньшее предложение утвердительное, а заключение частное. Два ограничения на четвертую фигуру получаются как в п. 45 и 46.

 

(48) Общеутвердительное заключение имеется только в первой фигуре. Вторая и третья фигуры исключаются (п. 37 и 39). Кроме того, меньший термин является общим в заключении (п. 11), следовательно, и в меньшем предложении (п. 20). Но оно утвердительное (п. 21), следовательно, его предикат частный (п. 9); следовательно, меньший общий термин является в нем не предикатом, а субъектом, что не имеет места в четвертой фигуре (п. 20). Следовательно, остается только первая фигура.

 

Затем следует перейти к перечислению модусов и доказать четыре модуса первой фигуры; из них будет доказано подчинение принятием тождественного предложения. Так получаются два оставшихся модуса первой фигуры. Из шести модусов первой фигуры посредством сведения доказываются шесть модусов второй и шесть модусов третьей, и одновременно доказывается, что существует столько же модусов второй и третьей фигур, сколько и первой. Модусы четвертой доказываются из первой через обращение, и те, которые были доказаны, дают остальные посредством сведения п. Следует подчеркнуть, что не существует большего числа модусов и что это известно не из перечисления неправильных модусов, а из законов правильных. Например, в первой фигуре посылки SC^ҐD^

 

VBPD 1а дают: л л \ A Barbara 1 { SBPD АА ^ ^ ц^ъяг! 2

 

{ SCPD \ PBPD ai I Darii 3

 

SCSD

 

SBPD PBPD

 

„л \ Е Celarent 4

 

h" \ 0 Celaro 5

 

El 0 Ferio 6

 

==559