ПЕРВОНАЧАЛЬНЫЕ ОСНОВАНИЯ ЛОГИЧЕСКОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

 

(1) «Л оо В» есть то же, что «^ оо В истинно»

 

(2) «Л не оо Z?» есть то же, что «Л оо В ложно»

 

(3) Л оо Л.

 

(4) Л не оо В (не- Л).

 

(5) Л оо (не-(не- Л)).

 

(6) ЛЛ оо Л.

 

(7) ЛВ оо ВЛ.

 

(8) Одно и то же: «Л оо В», «не- Л оо не- В», «не оо В».

 

(9) Если Л оо В, следовательно, Л не оо не- В- это я доказываю следующим образом. Если оно не Л то пусть Л не- В (по допущению противоположного. Следовательно (по предположению), В оо не- В, что абсурдно. То же самое доказывается и так: В не оо нс" (по п. 4), следовательно, и Л не оо не- В.

 

(10) Если Л оо ЛВ, можно принять У таким, что Л оо YB. Это постулат, но он может быть и доказан ибо само Л во всяком случае может быть обозначено через Y.

 

(11) Если Л оо В, то Л С оо ВС. Но Л оо В, что следует из АС оо ВС. Ведь если бы имелось Л оо ВС, то получилось бы АС оо ВС, по п. ю и 6.

 

(12) Совпадают: «Л оо ЛВ» и «не- В оо не- В не-А»-

 

(13) Если Л оо YB, то следует, что А оо АВ. Это я доказываю так: Л оо YB (по предположению). Следовательно, ЛВ оо УВВ (по п. 10) оо YB (по п. 6) оо ^ (1Ю предположению)-

 

Общеутвердительное может быть выражено так /4 ос оо АВ или Л оо YB.

 

Частноутвердительное так: уА оо YAB, или Y^ 00 оо ZB, или даже АВ оо ЛВ, т. е. ЛВ есть сущее, 0ЛИ А не оо Л не- В.

 

Общеотрицательное, «Ни одно Л не есть 2 так Л оо Y не- В. т. е. Л оо Л не- б, т. е. АВ есть не-сУ"^-

 

Частноотрицательное, «Некоторое Л не есть B^i так Л не оо.-1В, или Л не- В есть сущее.

 

Но досмотрим, достаточно ли одного этого;

 

==617

 

Общ. утв. А оо АВ, части, отр. А не оо АВ, общ. отр А оо А не- В, части, утв. /I не оо А не- В.

 

Если А оо АВ, следовательно, А не с» А не- В. Т е. из общ. утв. следует частн. утв.

 

Доказательство, пусть будет А оо А не- В (по допущению противоположного). Поскольку же А оо АВ (по предположению), получится А не- В оо АВ, что абсурдно, по п 4. Или короче так: А не- В не оо АВ (по п. 4), где, подставив А вместо АВ (ибо они эквивалентны, по предположению), получим А не- В не оо А. Что и требовалось доказать.

 

Если А оо А не- В, следовательно, А не оо АВ. Т. е. из общ. отриц. следует частн. отриц.

 

Доказательство: А не-В не оо АВ (по п. 4). Подставим А вместо А не- В (ибо они эквивалентны, по предположению) и получим А не оо АВ.

 

Равнозначны «А не оо А не- В» и «В не оо В не- А», т.е. Частноутвердительное может быть обращено просто.

 

Доказательство: из «А не оо А не- В» следует (по п Ч) «В не оо В не-А» Следовательно, в свою очередь обязательно и А оо А не- В совпадает с, В оо В не- А (по п 9). Следовательно, совпадают и противоречащие им. Что и требовалось доказать.

 

Посмотрим, нельзя ли вывести «В оо В не- А» из «А оо оо А не- В» иным путем. Если А оо А не- В, следовательно, АВ оо АВ не- В. Следовательно, АВ есть не- сущее Но если из «АВ есть не- сущее» мы выводим «А оо А не- В», то с равным правом мы можем вывести и взаимообратное тому — «В оо В не- А»

 

А можно и так, не прибегая к подстановке, пусть А В — сущее, следовательно, А не оо А не- В, потому что если бы было А оо А не- В, то было бы АВ оо АВ не В, и поэтому А В было бы не- сущим вопреки предположению И с равным правом В не оо В не- А. Когда говорится, что АВ есть сущее либо не- сущее, подразумевается, что А и В могут быть замещены сущими Посмотрим, нельзя ли показать обратное, если А не оо А не- В, следовательно, АВ есть сущее, разумеется, при допущении, что А и В суть сущие. Действительно, если, при допущении, что А н В суть сущие, АВ окажется не- сущим, то, следовательно, одно из них — А или В — должно содержать противоречащее тому, что содержит второе. Предположим, стало быть, что А включает С и В включает не С (откуда в свою очередь следует, что В включает D и Л

 

==618

 

включает не- Z), если предположить, что D оо не- С). Пусть, следовательно, А оо ЕС и В оо F не- С Теперь ЕС оо ЕС нe-(F (не-0), или ЕС содержит ве-(Р не- С) (т. е. все, что включает С, включает отрицание того, что отрицает С) Т е. А оо А не- В вопреки предположению. Следовательно, равнозначны, т е. взаимно следуют друг из друга «АВ есть сущее», «А не оо А не В» и «В не оо В не А» Подобным же образом равнозначны: «АВ есть несущее», «А оо А не- В», «В оо В не- А».

 

Таким образом мы находим ключ, позволяющий нам прибегнуть к сведению сложных к несложным.

 

Мы изложили этот вопрос лучше на следующем листе, от 2 августа 1690 г 2

 

Не-(АВ) есть в не В, т е. не- В оо не- В (не- АВ).

 

Если А оо ВС, является ли А: С оо В8, если иметь в виду, что С должно быть отнято от А, сведением к простым, пусть В оо СЕ, получается А оо СЕС, т. е. А оо СЕ, следовательно, А: С не всегда оо В. Таким образом это получается только в случае простых терминов.

 

Во всех случаях, когда есть общий [термин] ЕВ, так что Е мыслится каким угодно, может быть подставлено В, ибо, принимая Е вместо В, получим ЕВ оо ВВ оо В.

 

Если не- А В не оо А не- В, то не- АВ оо В не- А. И наоборот, т. е. «не- АВ не оо А не- В» и «не- АВ оо В не- А» равнозначны.

 

==619