Краткие сведения из теории. В основу критериев приема сигналов положен условный закон распределения вероятностей принимаемого сигнала W(y/Si)

 

В основу критериев приема сигналов положен условный закон распределения вероятностей принимаемого сигнала W(y/S_i), который называется функцией правдоподобия. Естественно, что приемник должен вычислять эту функцию перед принятием решения. Введем некоторые условия, сопутствующие задаче приема сигналов. Во-первых, будем считать, что помеха носит аддитивный характер, т. е. складывается с полезным сигналом. Тогда на входе приемника случайный сигнал у = S + Х, где S – полезный сигнал; Х – помеха. Во-вторых, искажения сигнала на входе приемника отсутствуют. В-третьих, приемнику точно известно время начала и конца сигнала (сигнал предполагается конечным во времени). В-четвертых, известен закон распределения помехи.

Характеристики помехи, безусловно, определяют путь решения задачи приема сигналов. Примем, что помеха носит гауссовский характер. Основной ее характеристикой является закон распределения, который в данном случае нормальный:

 

, (1.1)

 

где s - среднеквадратичное отклонение помехи, математическое ожидание принято нулевым.

Итак, помеха такого вида взаимодействует с сигналом, и на входе приемника получается аддитивная смесь. Такая смесь при элементарном сигнале показана на рис. 1.1. Из рисунка, в частности, следует, что сигнал зависит от времени, как и помеха, и если принимать решения, то это можно сделать либо по одному единственному отсчету, либо по совокупности отсчетов, следующих через интервал D t. В последнем случае перед принятием решения используется как бы вся информация о сигнале.

 

Рис. 1.1. Сигнал на входе приемника

 

Сначала рассмотрим приемник с принятием решения по одному отсчету. Предположим, что в данный момент времени на входе приемника будет присутствовать случайный сигнал у. Его случайность возникает из-за помехи Х; само же постоянное значение сигнала на интервале 0 – Т вносит в эту случайность постоянную величину, т. е. математическое ожидание, поэтому закон распределения принимаемого сигнала будет таким же, как и помеха, т. е. нормальным, но с ненулевым математическим ожиданием, равным самому значению сигнала S.

В итоге имеем:

 

, (1.2)

 

где S_i – сигнал нулевого или единичного бита.

Таким образом, для данного сигнала найдена функция правдоподобия.

Согласно критерию Котельникова демодулятор при решении должен проверять следующее неравенство:

. (1.3)

 

Принимаемый и передаваемый сигналы являются функциями времени. Предположим, что неравенство (1.3) проверяется в определенный момент времени, т. е. приемник работает по одному отсчету. При равных априорных вероятностях, т. е. , с учетом уравнения (1.2) из неравенства (1.3) имеем:

 

(1.4)

или

.

 

Проведя элементарные преобразования с этим выражением, получим:

 

у . (1.5)

 

Условие (1.5) регистрации сигналов означает, что, приняв сигнал у, необходимо его сравнить с эталоном (S₀ + S₁)/2, который является как бы порогом в принятии решения. Поскольку порог отвечает оптимальному решению, его также называют оптимальным порогом. Структурная схема оптимального приемника, отвечающая условиям (1.5), приведена на рис. 1.2.

 

 

Рис. 1.2. Структурная схема оптимального приемника с однократным отсчетом:

ИМ – импульсный модулятор; РУ – решающее устройство

 

В качестве примера рассмотрим конкретную систему сигналов и схему приемника для них.

Допустим, S₀ = 0; S₁ = 1 B – немодулированные сигналы. При наличии на входе приемника гауссовской помехи оптимальный порог будет 0,5 В. С этим порогом будет сравниваться значение принимаемого сигнала, и в зависимости от неравенства приниматься решение. Форма сигнала на входе приемника и положение оптимального порога показаны на рис. 1.3.

 

 

Рис. 1.3. Сигнал на входе приемника (σ₀ = σ₁)

 

К такому заключению на этом примере можно прийти и не прибегая к функции правдоподобия. Действительно, если один сигнал равен нулю, а другой – 1 В и на них накладывается помеха, то принимать решение, конечно, нужно по уровню 0,5 В. Однако так бывает не всегда. Сделаем, например, допущение, что в канале имеются нелинейности, например полупроводниковый диод с порогом ограничения. Тогда при сигнале S₀ уровень помехи будет мал, так как помеха ограничивается диодом, а при сигнале S₁ уровень помехи большой. Все это приводит к тому, что при сигнале S₀ среднеквадратическое значение помехи будет равно s₀, а при сигнале S₁ - s₁, причем s₁ > s₀. Сигнал на входе приемника для такого случая приведен на рис. 1.4.

 

Рис. 1.4. Сигнал на входе приемника (s₀ < s₁)

 

Сделать вывод для этого примера о положении оптимального порога не просто; можно только утверждать, что он будет опущен вниз от среднего значения сигнала. Полный ответ может быть получен только на основании неравенства (1.4), в котором в показателе экспоненты левой части неравенства будет s₀, а в правой – s₁. Функции правдоподобия для этого случая приведены на рис. 1.5.

Положение оптимального порога определяется значением y, при котором выражение (1.4) обращается в равенство или, иными словами, точкой, в которой пересекаются функции правдоподобия.

 

Рис. 1.5. Функции правдоподобия сигналов (s₀ < s₁)

 

Далее найдем структуру приемника, работающего по нескольким отсчетам, охватывающим весь сигнал. В этом случае, очевидно, нужно сравнивать усредненные значения правой и левой частей неравенства (1.4), т. е. интегралы:

 

. (1.6)

 

Принимая во внимание, что S₀ = 0 и S₁ = а, несложными преобразованиями получим критерий выбора:

 

. (1.7)

 

На основании последней формулы можно построить оптимальную схему приемника (рис. 1.6).

 

 

Рис. 1.6. Структурная схема оптимального приемника

двоичных сигналов с интегратором

Как будет доказано в дальнейшем, наличие интегратора увеличивает отношение сигнал/помеха, что приводит к уменьшению вероятности ошибки.

Более подробные сведения по данной теме можно найти в работах [1 – 3].