Инструментальные переменные

Одной из предпосылок МНК (в случае стохастических регрессоров) является требование, чтобы регрессоры и остатки были независимыми. Как было показано выше, если при этом математическое ожидание остатков равно нулю, МНК-оценки параметров уравнения регрессии будут несмещёнными. Одним из путей преодоления этой трудности (смещённость оценок вектора параметров) является использование других независимых переменных, которые носят название инструментальные переменные. Для получения состоятельных оценок в этом случае надо, чтобы инструментальные переменные обладали двумя свойствами:

• новые независимые переменные должны быть тесно связаны с исходными независимыми переменными;

• новые переменные не должны быть связаны с остатками модели.

Рассмотрим эти вопросы подробнее. Пусть исходная модель, как и раньше, описывается равенством Y = X + . При этом установлено, что хотя бы один из регрессоров коррелирован с остатками модели. Предположим, что задана матрица Z размера – матрица инструментальных переменных, причём k x k матрица Z^TX обратима (здесь n – число наблюдений, k – число регрессоров, включая константу). Тогда по определению оценкой параметров с помощью инструментальных переменных называется вектор = (Z^TX)^-1Z^TY.

Можно показать, что эта оценка является состоятельной, хотя в общем случае может быть смещённой и не эффективной, поскольку зависит от Z.

Типичными ситуациями, когда требуется использование инструментальных переменных, является наличие ошибок в измерениях независимых переменных или наличие лаговых переменных в качестве независимых переменных, если остатки модели автокоррелированы. Кроме того, метод инструментальных переменных используется при анализе системы одновременных эконометрических уравнений, когда одни и те же переменные одновременно являются зависимыми в одних уравнениях и независимыми в других. Можно показать, что применение стандартного МНК в этих случаях будет приводить к смещённым и несостоятельным оценкам.

Рассмотрим один из таких случаев, когда предпосылка о независимости регрессоров и остатков нарушается. Пусть рассматривается уравнение регрессии, в котором в качестве регрессора выступает лагированная зависимая переменной и остатки при этом автокоррелированы. Тогда анализируемая модель имеет вид

y_t = + x_t + y_t-1 + ,

где x_t – единственная объясняющая переменная. Известно, что если регрессоры (x_t и y_t-1) и остаток независимы, то МНК-оценка вектора параметров = ()^T будет несмещённой и состоятельной. Однако предположим, что остаток подвержен автокорреляции первого порядка, т.е. = + v_t. Теперь исходная модель примет вид

y_t = + x_t + y_t-1 + + v_t.

Но y_t-1 и зависимы (см. исходное уравнение с индексом (t 1)), а в силу автокорелированности связано с , следовательно, регрессор y_t-1 и остаток также зависимы. Таким образом, если 0, то МНК больше не приводит к несмещённым и состоятельным оценкам для параметров исходной модели.

Метод оценивания с помощью инструментальных переменных является обобщением обычного МНК. Выбор самих инструментальных переменных – не совсем простая задача. Её решение зависит от конкретной ситуации. Может оказаться, что вообще не удаётся найти инструментальных переменных, а может существовать и несколько таких инструментов.

Идея метода инструментальных переменных заключается в следующем. Сначала осуществляем регрессию каждого x_j на Z и находим расчётные значения , j = 1,…, k. Будем считать их новыми независимыми переменными, и оценка по методу инструментальных переменных вектора параметров строится с помощью обычной регрессии y на , j = 1,…, k. Таким образом, МНК применяется здесь дважды – сначала для построения регрессоров , j = 1,…, k, а затем для нахождения оценки . Эта процедура носит название двухшагового МНК.

Следует иметь в виду, что не для каждой независимой переменной необходимо строить инструмент. Если какая-либо независимая переменная не коррелирует с остатками, то она сама для себя может служить инструментом.

Тест Хаусмана служит для проверки того, надо ли применять инструментальные переменные или достаточно обойтись обычным МНК. В этом тесте нулевой гипотезой является предпосылка, что регрессоры и остатки независимы. Альтернативная гипотеза – зависимые.

Рассчитываются два вида оценок вектора параметров модели – обычным МНК () и с помощью инструментальных переменных (). При нулевой гипотезе обе эти оценки несмещённые и состоятельны, а при альтернативной – несмещённой оценкой является только оценка, рассчитанная с помощью инструментальных переменных. Так что при нулевой гипотезе разность этих оценок ( – ) стремится к нулю и при соответствующей нормировке распределение этой разности асимптотически будет совпадать к каким-нибудь известным распределением.

Хаусман доказал, что при верности нулевой гипотезы асимптотически верно равенство Var( – ) = Var () – Var (), так что статистика H = ( – )^T(Var() – Var())^-1( – ) при нулевой гипотезе асимптотически имеет хи-квадрат распределение с k степенями свободы.

Рассмотрим более общий случай, когда анализируются несколько эндогенных, т.е. определяемых внутри модели регрессоров. Пусть оценивается модель вида

Y = X₁ + X₂ + ,

где X₁ – матрица значений экзогенных объясняющих переменных, некоррелированных с остатками,

X₂ – матрица значений эндогенных объясняющих переменных, коррелированных с остатками.

Чтобы оценить это уравнение, необходима инструментальная переменная для каждого элемента в векторе объясняющих переменных X₂. Это означает, что если имеются, например, три эндогенных регрессора, то необходимо иметь, по крайней мере, три различных инструментальных переменных. Обозначая совокупность инструментальных переменных вектором Z₂, оценку методом инструментальных переменных можно записать как = (Z^TX)^-1Z^TY, где теперь X = (X₁,X₂), a Z =(X₁,Z₂).

Иногда всю матрицу Z рассматривают как матрицу инструментальных переменных. В этом случае, если переменная в матрице объясняющих переменных является экзогенной, то для неё не надо искать инструментальную переменную. Эта переменная используется в качестве своей собственной инструментальной переменной. Поэтому число инструментальных переменных должно быть не менее, чем число оцениваемых параметров. Если все переменные экзогенные, то при применении метода инструментальной переменной реализуется обычная МНК-оценка, где каждая переменная инструментирована сама собой.