Нормальные формы

Булевы функции удобнее задавать в виде формул. Одной функции может соответствовать множество формул, содержащих аргументы функции, знаки дизъюнкции, конъюнкции и отрицания.

Элементарной дизъюнкцией называется дизъюнкция конечного множества переменных или их отрицаний, в котором каждая переменная встречается не более одного раза.

Пример 3.1. , x ₁

Элементарной конъюнкцией называется конъюнкция конечного множества переменных или их отрицаний, в котором каждая переменная встречается не более одного раза.

Пример 3.2. ,

Дизъюнктивной нормальной формой (днф) называется дизъюнкция конечного множества попарно различных элементарных конъюнкций.

Пример 3.3. ,

Аналогично, можно определить конъюнктивную нормальную форму (кнф), как конъюнкцию конечного множества попарно различных элементарных дизъюнкций.

Пример 3.4. ,

В примере видно, что является одновременно днф и кнф.

Для любой функции можно найти ее представление в днф и кнф, используя аксиомы алгебры логики.

Пример 3.5. Найти днф, кнф для функции

– Днф.

– кнф.

Любая булева функция может иметь много представлений в виде днф и кнф. Особое место среди этих представлений занимают совершенные днф (сднф) и совершенные кнф (скнф).

Конституентой единицы k¹ набора называется конъюнкция всех переменных, образующих этот набор. Причем, переменная входит в конъюнкцию с отрицанием, если она на данном наборе равна 0 и без отрицания, если она равна 1. Конституентой нуля k⁰ данного набора называется дизъюнкция всех переменных, образующих этот набор. Переменная входит в дизъюнкцию без отрицания, если она на этом наборе равна 0 и с отрицанием, если она равна 1. Совершенная дизъюнктивная нормальная форма функции f – дизъюнкция k¹ тех наборов, на которых функция принимает значение 1. Совершенная конъюнктивная нормальная форма функции f – конъюнкция k⁰ тех наборов, на которых функция принимает значение 0. Представление функции в СДНФ или СКНФ единственно. Совершенные формы легко строить по таблице истинности.

Пример 3.6. Построим СДНФ и СКНФ для функции f, для которой задана таблица истинности.

x 1	x 2	x 3	f

Для построения СДНФ рассмотрим все наборы, на которых функция принимает значение 1, и выпишем для этих наборов все k¹:

, , , .

Тогда СДНФ имеет вид:

Для построения СКНФ рассмотрим все наборы, на которых функция принимает значения 0, и выпишем для этих наборов k⁰:

, , , .

Тогда СКНФ имеет вид:

Для построения СДНФ из ДНФ можно домножить элементарную конъюнкцию на (если переменная x_i отсутствует в элементарной конъюнкции) и применить закон дистрибутивности.

Пример 3.7. Найти СДНФ для функции

– СДНФ.

Для построения СКНФ из КНФ в элементарную дизъюнкцию, не содержащую переменную x_i, добавляем и применяем закон дистрибутивности.

Пример 3.8. Найти СКНФ для функции – СКНФ.

В дальнейшем для представления СДНФ функции f будем указывать номера k¹, на которых функция равна 1. Для определения набора необходимо перевести номер k¹ в двоичное число.

Пример 3.9. Пусть СДНФ функция f определяется следующим образом.

=

Переведем номера k¹ в двоичные числа

Таким образом, f обращается в 1 на наборах

(0,0,0,1), (0,1,0,1), (1,0,0,0), (1,0,1,1), (1,1,1,0).

Аналогично, для представления функции в СКНФ будем использовать запись с указанием номеров k⁰, на которых функция равна 0.

Пример 3.10. = .

Переведем номера k⁰ в двоичные числа

Функция f обращается в 0 на наборах

(0,0,1,0), (0,0,1,1), (0,1,1,1), (1,0,1,1).