Векторное произведение векторов.

 

Определение 6.2. Вектор с называется векторным произведением векторов а и b, если:

1) | c | = | a||b | sinφ, где φ – угол между а и b.

2) c a, c b.

3) Тройка векторов abc является правой.

 

Обозначения векторного произведения: c = [ ab ], c = a b.

 

Свойства векторного произведения.

1) [ ba ] = - [ ab ].

Доказательство. Вектор - с удовлетворяет первым двум условиям определения векторного произведения и образует с векторами b и а правую тройку векторов.

 

2) [ ab ] = 0 a ║ b.

Доказательство. Из первого пункта определения 6.2 следует, что модуль векторного произведения ненулевых векторов равен нулю только при sinφ = 0, что соответствует коллинеарности векторов а и b.

 

3) Модуль векторного произведения |[ ab ]| равняется площади S параллелограмма, построенного на приведенных к общему началу векторах а и b.

Доказательство следует из первого пункта определения 6.2.

 

Определение 6.3. Орт е_а произвольного вектора а – это вектор единичной длины, коллинеарный а и одинаково с ним направленный (| е_а | = 1, е_а || a).

 

Cледствие из свойства 3. [ ab ] = S e, где е – орт вектора [ ab ].

 

4) [(k a) b ] = k [ ab ].

5) [(a + b ) c ] = [ ac ] + [ bc ].

6) Если в декартовой системе координат a = {X_a, Y_a, Z_a}, b = {X_b, Y_b, Z_b}, то

[ ab ] =

Доказательство.

Представим векторы а и b в виде: a = X_a i + Y_a j +Z_a k, b = X_b i + Y_b j +Z_b k. Отметим, что [ ij ] = k, [ jk ] = i, [ ki ] = j, [ ii ] = [ jj ] = [ kk ] = 0. Тогда с использованием свойств 4 и 5 получим:

[(X_a i + Y_a j + Z_a k)(X_b i + Y_b j + Z_b k)] =(Y_aZ_b – Y_bZ_a) i +(X_bZ_a – X_aZ_b) j + (X_aY_b – X_bY_a) k, что доказывает свойство 6.

Пример. Вычислим векторное произведение векторов а = {3, -4, 2} и b = {1, 5, 1}.

[ ab ] = ={-14, -1, 19}.