Линейные операции над векторами.
Определение 5.4. Суммой a + b векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора а в конец вектора b, если начало вектора b совпадает с концом вектора а.
a+b
Замечание. Такое правило сложения векторов называют правилом треугольника.
Свойства сложения: Свойство 1. a + b = b + a.
AOBC. Из определения 5.4 и треугольника ОВС следует, что ОС= b+a, а из треугольника ОАС – ОС= а+b. Свойство 1 доказано. В а С Замечание. При этом сформулировано еще одно правило b b сложения векторов – правило параллелограмма: сумма a+b= векторов a и b есть диагональ параллелограмма, построенно- =b+a го на них как на сторонах, выходящая из их общего начала. О А А Свойство 2. (a+b)+c=a+(b+c). b Доказательство. Из рисунка видно, что
a a+(b+c)=OA+(AB+BC)=OA+AC=OC. Свойство 2 доказано.
O c С Свойство 3. Для любого вектора a существует нулевой вектор О такой, что a +О=а. Доказательство этого свойства следует из определения 5.4.
Свойство 4. Для каждого вектора a существует противоположный ему вектор a / такой, что а+а /=О. Доказательство. Достаточно определить a / как вектор, коллинеарный вектору a, имеющий одинаковую с ним длину и противоположное направление.
Определение 5.5. Разностью а – b векторов а и b называется такой вектор с, который в сумме с вектором b дает вектор а.
B
Определение 5.6. Произведением k a вектора а на число k называется вектор b, коллинеарный вектору а, имеющий модуль, равный | k || a |, и направление, совпадающее с направлением а при k >0 и противоположное а при k<0. Свойства умножения вектора на число: Свойство 1. k( a + b ) = k a + k b. Свойство 2. (k + m) a = k a + m a. Свойство 3. k(m a ) = (km) a. Следствие. Если ненулевые векторы а и b коллинеарны, то существует такое число k, что b = k a.
|
b
a
A a + b B (a+b)+c =(OA+AB)+BC=OB+BC=OC,
b+с
a a-b
