Студопедия Главная Случайная страница Обратная связь

Разделы: Автомобили Астрономия Биология География Дом и сад Другие языки Другое Информатика История Культура Литература Логика Математика Медицина Металлургия Механика Образование Охрана труда Педагогика Политика Право Психология Религия Риторика Социология Спорт Строительство Технология Туризм Физика Философия Финансы Химия Черчение Экология Экономика Электроника

Скалярное произведение векторов.





 

Определение 5.14. Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей на косинус угла между ними:

ab = | a || b | cosφ. (5.4)

Обозначения скалярного произведения: ab, ( ab ), a·b.

 

Свойства скалярного произведения:

1. ab = | a | пра b.

 

Доказательство. По свойству проекции пра b = | b | cos φ;, следовательно, ab = | a | пра b.

 

2. ab = 0 a b. 3. ab = ba.

4. (k a) b = k(ab). 5. (a + b) c = ac + bc.

6. a 2 = aa = | a |2, где а 2 называется скалярным квадратом вектора а.

7. Если векторы а и b определены своими декартовыми координатами

a = {X1, Y1, Z1}, b = {X2, Y2, Z2}, (5.5)

то ab = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2.

(5.6)

Доказательство. Используя формулу (5.3), получим:

ab = (X1 i + Y1 j + Z1 k)(X2 i + Y2 j + Z2 k).

Используя свойства 4 и 5, раскроем скобки в правой части полученного равенства:

ab = X1X2 ii +Y1Y2 jj + Z1Z2 kk + X1Y2 ij +X1Z2 ik + Y1X2 ji + Y1Z2 jk + Z1X2 ki + Z1Y2 kj.

Но ii = jj = kk = 1 по свойству 6, ij = ji = ik = ki = jk = kj = 0 по свойству 2, поэтому

ab = X1X2 + Y1Y2 + Z1Z2.

 

8. cosφ = . (5.6)

Замечание. Свойства 2, 3, 4 доказываются из определения 5.14, свойства 5, 6 – из свойств проекции, свойство 8 – из свойства 7 и свойств направляющих косинусов.

 

Пример.

a = {1, -5, 12}, b = {1, 5, 2}. Найдем скалярное произведение векторов а и b:

ab = 1·1 + (-5)·5 + 12·2 = 1 – 25 + 24 = 0. Следовательно, векторы а и b ортогональны.

 

 

Лекция 6.

Векторное и смешанное произведение векторов, их основные свойства и геометрический смысл. Координатное выражение векторного и смешанного произведения. Условия коллинеарности и компланарности векторов.

 

Будем называть три вектора а,b,c, для которых определен порядок следования, тройкой (или упорядоченной тройкой) векторов.

 

Определение 6.1. Тройка некомпланарных векторов abc называется правой (левой), если после приведения к общему началу вектор с располагается по ту сторону от плоскости, определяемой векторами а и b, откуда кратчайший поворот от а к b кажется совершающимся против часовой стрелки (по часовой стрелке).

с с

 
 


b a

       
 
   


A b

abc – правая тройка abc – левая тройка

 

Замечание. В дальнейшем будем рассматривать только правые системы координат, т.е. системы, базисные векторы которых образуют правую тройку.

 







Дата добавления: 2015-09-18; просмотров: 385. Нарушение авторских прав; Мы поможем в написании вашей работы!




Картограммы и картодиаграммы Картограммы и картодиаграммы применяются для изображения географической характеристики изучаемых явлений...


Практические расчеты на срез и смятие При изучении темы обратите внимание на основные расчетные предпосылки и условности расчета...


Функция спроса населения на данный товар Функция спроса населения на данный товар: Qd=7-Р. Функция предложения: Qs= -5+2Р,где...


Аальтернативная стоимость. Кривая производственных возможностей В экономике Буридании есть 100 ед. труда с производительностью 4 м ткани или 2 кг мяса...

Травматическая окклюзия и ее клинические признаки При пародонтите и парадонтозе резистентность тканей пародонта падает...

Подкожное введение сывороток по методу Безредки. С целью предупреждения развития анафилактического шока и других аллергических реак­ций при введении иммунных сывороток используют метод Безредки для определения реакции больного на введение сыворотки...

Принципы и методы управления в таможенных органах Под принципами управления понимаются идеи, правила, основные положения и нормы поведения, которыми руководствуются общие, частные и организационно-технологические принципы...

Ученые, внесшие большой вклад в развитие науки биологии Краткая история развития биологии. Чарльз Дарвин (1809 -1882)- основной труд « О происхождении видов путем естественного отбора или Сохранение благоприятствующих пород в борьбе за жизнь»...

Этапы трансляции и их характеристика Трансляция (от лат. translatio — перевод) — процесс синтеза белка из аминокислот на матрице информационной (матричной) РНК (иРНК...

Условия, необходимые для появления жизни История жизни и история Земли неотделимы друг от друга, так как именно в процессах развития нашей планеты как космического тела закладывались определенные физические и химические условия, необходимые для появления и развития жизни...

Studopedia.info - Студопедия - 2014-2025 год . (0.009 сек.) русская версия | украинская версия