Как извлечь корень из произвольного комплексного числа?

Рассмотрим уравнение , или, то же самое: . Здесь «эн» может принимать любое натуральное значение, которое больше единицы. В частности, при получается квадратный корень

Уравнение вида имеет ровно корней , которые можно найти по формуле:

,

где – это модуль комплексного числа , – его аргумент, а параметр принимает значения от 0 до (n-1):

Пример 16

Найти корни уравнения

Перепишем уравнение в виде

В данном примере , , поэтому уравнение будет иметь два корня: и . Общую формулу можно сразу немножко детализировать:

,

Теперь нужно найти модуль и аргумент комплексного числа :

Число располагается в первой четверти, поэтому:

Напоминаю, что при нахождении тригонометрической формы комплексного числа всегда желательно сделать чертеж.

Еще более детализируем формулу:

,

Подставляя в формулу значение , получаем первый корень:

Подставляя в формулу значение , получаем второй корень:

Ответ:

,

При желании или требовании задания, полученные корни можно перевести обратно в алгебраическую форму.

И напоследок рассмотрим задание - «хит», в контрольных работах почти всегда для решения предлагается уравнение третьей степени: .

Пример 17

Найти корни уравнения , где

Сначала представим уравнение в виде :

Если , тогда

Обозначим привычной формульной буквой: .
Таким образом, требуется найти корни уравнения

В данном примере , а значит, уравнение имеет ровно три корня: , ,
Детализирую общую формулу:
,

Найдем модуль и аргумент комплексного числа :

Число располагается во второй четверти, поэтому:

Еще раз детализирую формулу:
,
Корень удобно сразу же упростить:

Подставляем в формулу значение и получаем первый корень:

Подставляем в формулу значение и получаем второй корень:

Подставляем в формулу значение и получаем третий корень:

Очень часто полученные корни требуется изобразить геометрически:
Как выполнить чертеж? Сначала на калькуляторе находим, чему равен модуль корней и чертим циркулем окружность данного радиуса. Все корни будут располагаться на данной окружности.

Теперь берем аргумент первого корня и выясняем, чему равняется угол в градусах: . Отмеряем транспортиром и ставим на чертеже точку .

Берем аргумент второго корня и переводим его в градусы: . Отмеряем транспортиром и ставим на чертеже точку .

По такому же алгоритму строится точка

Легко заметить, что корни расположены геометрически правильно с интервалом между радиус-векторами. Чертеж крайне желательно выполнять с помощью транспортира.

 

 

Решения и ответы примеров, данных на самостоятельное рассмотрение:

Пример 6

Решение:

Пример 8:

Решение:

Представим в тригонометрической форме число .

Найдем его модуль и аргумент.

.

Поскольку (случай 1), то

.

Таким образом:

– число в тригонометрической форме.

Представим в тригонометрической форме число .

Найдем его модуль и аргумент.

.

Поскольку (случай 3), то

.

Таким образом:

– число в тригонометрической форме.

 

Пример 11: Решение:

Представим число в тригонометрической форме:

(это число Примера 8). Используем формулу Муавра :

Пример 13: Решение:

Пример 15: Решение:

,
Разложим квадратный двучлен на множители: