Комплексные числа для чайников

полягає у тому, щоб оцінити знання та вміння учасників:

- будувати математичні моделі реальних об'єктів, процесів i явищ та досліджувати ці моделі засобами математики;

- виконувати математичні розрахунки (виконувати дії з числами, поданими в різних формах, дії з відсотками, складати та розв'язувати задачі на наближені обчислення, пропорції тощо);

- виконувати перетворення числових та буквених виразів (розуміти змicтове значення кожного елемента виразу, спрощувати та обчислювати вирази, знаходити допустимі значення змінних, знаходити числові значення виразів при заданих значеннях змінних тощо);

- будувати й аналізувати графіки функціональних залежностей, рівнянь та нерівностей, досліджувати їхні властивості;

- використовувати властивості похідної та інтеграла до розв’язування задач;

- досліджувати та розв'язувати рівняння, нepiвності та їхні системи;

- розв'язувати текстові задачі;

- знаходити на рисунках геометричні фігури та встановлювати їхні властивості;

- знаходити кiлькicнi характеристики геометричних фiгур (довжини, величини кyтiв, площі, об'єми);

- розв'язувати найпростiшi комбiнаторнi задачі та обчислювати ймовiрностi випадкових подій;

- аналізувати iнформацiю, що подана в графiчнiй, табличній, текстовій та інших формах.

Назва розділу, теми	Учень повинен знати	Предметні вміння та способи навчальної дiяльностi
	АЛГЕБРА І ПОЧАТКИ АНАЛIЗУ
	Розділ:ЧИСЛА І ВИРАЗИ
Дійсні числа (натуральні, цілі, рацiональнi та iррацiональні), порівняння чисел та дії з ними. Числові множини та співвідношення між ними	- властивості дій з дійсними числами; - правила порівняння дійсних чисел; - ознаки подiльностi чисел на 2, 3, 5, 9, 10; - правила знаходження найбільшого спільного дільника та найменшого спільного кратного чисел; - правила округлення цілих чисел і десяткових дробів; - означення кореня n -го степеня та арифметичного кореня n -го степеня; - властивості кopeнів; - означення степеня з натуральним, цілим та раціональним показниками, їхні властивості; - числові проміжки; - модуль дійсного числа та його властивості	- розрізняти види чисел та числових проміжків; - порівнювати дійсні числа; - виконувати дії з дійсними числами; - використовувати ознаки подільності; - знаходити найбільший спільний дільник та найменше спільне кратне кількох чисел; - знаходити неповну частку та остачу від ділення одного натурального числа на інше; - перетворювати звичайний дріб у десятковий та нескінченний періодичний десятковий дріб – у звичайний; - округлювати цілі числа і десяткові дроби; - використовувати властивості модуля до розв’язання задач
Відношення та пропорції. Відсотки. Основні задачі на відсотки. Текстові задачі	- відношення, пропорції; - основну властивість пропорції; - означення відсотка; - правила виконання відсоткових розрахунків	- знаходити відношення чисел у вигляді відсотка, відсоток від числа, число за значенням його відcoткa; - розв'язувати задачі на вiдсотковi розрахунки та пропорції; - розв'язувати текстові задачі арифметичним способом
Рацiональнi, iррацiональнi, степеневі, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні вирази та їхні перетворення	- означення області допустимих значень змінних виразу зі змінними; - означення тотожно рівних виразів, тотожного перетворення виразу, тотожності; - означення одночлена та многочлена; - правила додавання, вiднiмання і множення одночленів та многочленів; - формули скороченого множення; - розклад многочлена на множники; - означення алгебраїчного дробу; - правила виконання дій з алгебраїчними дробами; - означення та властивості логарифма, десяткового та натурального логарифмів; - основну логарифмічну тотожність; - означення синуса, косинуса, тангенса, котангенса числового аргументу; - основну тригонометричну тотожність та наслідки з неї; - формули зведення; - формули додавання та наслідки з них	- виконувати тотожні перетворення раціональних, iррацiональних, степеневих, показникових, логарифмiчних, тригонометричних виразів та знаходити їхнє числове значення при заданих значеннях змінних; - доводити тотожності
	Розділ: РIВНЯННЯ, НEPIВHOCТI ТА ЇХНІ СИСТЕМИ
Лiнiйнi, квaдpaтні, рацiональнi, iррацiональнi, показникові, логарифмiчнi, тригонометричні рівняння, неpiвності та їxні системи. 3астосування рівнянь, нерівностей та їхніх систем до розв'язування текстових задач	- рівняння з однією змінною, означення кореня (розв'язку) рівняння з однією змінною; - нepiвність з однією змінною, означення розв'язку нepiвнocтi з однією змінною; - означення розв'язку системи рівнянь, основні методи розв’язування систем; - рівносильні рівняння, нерівності та їхні системи; - методи розв'язування раціональних, ірраціональних, показникових, логарифмiчних, тригонометричних рівнянь і нерівностей	- розв'язувати рівняння i нepiвнocтi першого та другого степенів, а також рівняння i нepiвнocтi, що зводяться до них; - розв'язувати системи рівнянь i нерівностей першого та другого степенів, а також ті, що зводяться до них; - розв'язувати рівняння і нepiвнocтi, що містять степеневі, показникові, логарифмiчнi та тригонометричні вирази; - розв'язувати iррацiональнi рівняння і нерівності, а також їхні системи; - застосовувати загальні методи та прийоми (розкладання на множники, заміна змінної, застосування властивостей функцій) у процесі розв'язування рівнянь, нерівностей та їхні систем; - користуватися графічним методом розв'язування і дослідження рівнянь, нерівностей та систем; - застосовувати рівняння, нepiвнocтi та системи до розв'язування текстових задач; - розв'язувати рівняння і нepiвнocтi, що містять змінну під знаком модуля; - розв'язувати рівняння, нepiвнocтi та системи з параметрами
	Розділ:ФУНКЦIЇ
Числові послiдовностi	- означення арифметичної та геометричної прогресій; - формули n -го члена арифметичної та геометричної прогресій; - формули суми n перших членів арифметичної та геометричної прогресій; - формулу суми нескінченної геометричної прогресії зі знаменником | q | < 1	- розв'язувати задачі на арифметичну та геометричну прогресії
Функціональна залежність. Лiнiйнi, квадратичні, степеневі, показникові, логарифмiчнi та триroнометричнi функції, їхні основні властивості	- означення функції, області визначення, області значень функції, графік функції; - способи задання функцій, основні властивості та графіки функцій, указаних у назві теми; - означення функції, оберненої до заданої	- знаходити область визначення, область значень функції; - досліджувати на парність (непарність), перiодичнiсть функцію; - будувати графіки елементарних функцій, указаних у назві теми; - встановлювати властивості числових функцій, заданих формулою або графіком; - використовувати перетворення графiкiв функцій
Похідна функції, її геометричний та фізичний змicт. Похідні елементарних функцій. Правила диференціювання	- означення похідної функції в точці; - фізичний та геометричний зміст похідної; - рівняння дотичної до графіка функції в точці; - таблицю похідних елементарних функцій; - правила знаходження похідної суми, добутку, частки двох функцій; - правила знаходження похідної складеної функції	- знаходити похідні елементарних функцій; - знаходити числове значення похідної функції в точці для заданого значення аргументу; - знаходити похідну суми, добутку і частки двох функцій; - знаходити похідну складеної функції; - знаходити кутовий коефіцієнт і кут нахилу дотичної до графіка функції в точці; - розв'язувати задачі з використанням геометричного та фізичного змісту похідної
Дослідження функції за допомогою похідної. Побудова графiкiв функцій	- достатню умову зростання (спадання) функції на проміжку; - екстремуми функції; - означення найбільшого і найменшоro значень функції	- знаходити проміжки монотонності функції; - знаходити екстремуми функції за допомогою похідної, найбільше та найменше значення функції; - досліджувати функції за допомогою похідної та будувати їх графіки; - розв'язувати прикладні задачі на знаходження найбільших i найменших значень
Первісна та визначений інтеграл. Застосування визначеного інтеграла до обчислення площ плоских фігур	- означення первicної функції, визначеного інтеграла, криволінійної трапеції; - таблицю первісних функцій; - правила знаходження первісних; - формулу Ньютона - Лейбнiца	- знаходити первісну, використовуючи її основні властивості; - застосовувати формулу Ньютона-Лейбніца для обчислення визначеного інтеграла; - обчислювати площу плоских фігур за допомогою інтеграла; - розв'язувати нескладні задачі, що зводяться до знаходження інтеграла
	Розділ:ЕЛЕМЕНТИ КОМБІНАТОРИКИ, ПОЧАТКИ ТЕОРІЇ ЙМОВIРНОСТЕЙ ТА ЕЛЕМЕНТИ СТАТИСТИКИ
Перестановки, комбінації, розміщення (без повторень). Комбінаторні правила суми та добутку. Ймовірність випадкової події. Вибіркові характеристики	- означення перестановки, комбінації, розміщень (без повторень); - комбінаторні правила суми та добутку; - класичне означення ймовiрностi події, найпростіші випадки підрахунку ймовірностей подій; - означення вибіркових характеристик рядів даних (розмаху вибірки, моди, медіани, середнього значення); - графiчну, табличну, текстову та інші форми подання статистичної інформації	- розв'язувати нескладні задачі комбінаторного характеру; - обчислювати ймовiрностi випадкових подій; - обчислювати та аналізувати вибіркові характеристики рядів даних (розмах вибірки, моду, медіану, середнє значення)
	ГЕОМЕТРIЯ
	Розділ:ПЛАНIМЕТРIЯ
Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості	- поняття точки та прямої, променя, відрізка, ламаної, кута; - аксіоми планiметрiї; - суміжні та вертикальні кути, бісектрису кута; - властивості суміжних та вертикальних кутів; - властивість бісектриси кута; - паралельні та перпендикулярні прямі; - перпендикуляр і похилу, серединний перпендикуляр, відстань від точки до прямої; - ознаки паралельності прямих; - теорему Фалеса, узагальнену теорему Фалеса	- застосовувати означення, ознаки та властивості найпростіших геометричних фігур до розв'язування планіметричних задач та задач практичного зміcтy
Коло та круг	- коло, круг та їхні елементи; - центральні, вписані кути та їхні властивості; - властивості двох хорд, що перетинаються; - дотичну до кола та її властивості	- застосовувати набуті знання до розв'язування планіметричних задач та задач практичного зміcтy
Трикутники	- види трикутників та їхні основні властивості; - ознаки рівності трикутників; - медіану, бісектрису, висоту трикутника та їхні властивості; - теорему про суму кутів трикутника; - нерівність трикутника; - середню лінію трикутника та її властивості; - коло, описане навколо трикутника, і коло, вписане в трикутник; - теорему Піфагора, пропорційні відрізки прямокутного трикутника; - співвідношення між сторонами і кутами прямокутного трикутника; - теорему синусів; - теорему косинусів	- класифікувати трикутники за сторонами та кутами; - розв'язувати трикутники; - застосовувати означення та властивості різних видів трикутників до розв'язування планіметричних задач та задач практичного зміcтy; - знаходити радіуси кола, описаного навколо трикутника, і кола, вписаного в трикутник
Чотирикутники	- чотирикутник та його елементи; - паралелограм та його властивості; - ознаки паралелограма; - прямокутник, ромб, квадрат, трапецію та їхні властивості; - середню лінію трапеції та її властивості; - вписані в коло та описані навколо кола чотирикутники	- застосовувати означення, ознаки та властивості різних видів чотирикутників до розв'язування планіметричних задач і задач практичного зміcтy
Многокутники	- многокутник та його елементи, опуклий многокутник; - периметр многокутника; - суму кутів опуклого многокутника; - правильний многокутник та його властивості; - вписані в коло та описані навколо кола многокутники	- застосовувати означення та властивості многокутників до розв'язування планіметричних задач і задач практичного зміcтy
Геометричні величини та їх вимірювання	- довжину відрізка, кола та його дуги; - величину кута, вимірювання кутів; - формули для обчислення площі трикутника, паралелограма, ромба, квадрата, трапеції, правильного многокутника, круга, кругового сектора, сегмента	- знаходити довжини вiдрiзкiв, гpaдycнi та радіанні міри кyтiв, площі геометричних фiгур; - обчислювати довжину кола та його дуг, площу круга, кругового сектора та сегмента; - використовувати формули площ геометричних фігур до розв'язування планіметричних задач і задач практичного зміcтy
Координати та вектори на площині	- прямокутну систему координат на площині, координати точки; - формулу для обчислення вiдстанi між двома точками та формулу для обчислення координат середини відрізка; - рівняння прямої та кола; - поняття вектора, довжину вектора, колiнеарнi вектори, рiвні вектори, координати вектора; - додавання, віднімання векторів, множення вектора на число; - розклад вектора за двома неколінеарними векторами; - скалярний добуток векторів та його властивості; - формулу для знаходження кута між векторами, що задані координатами; - умови колінеарності та перпендикулярності векторів, що задані координатами	- знаходити координати середини відрізка та відстань між двома точками; - складати рівняння прямої та рівняння кола; - виконувати дії з векторами; - знаходити скалярний добуток векторів; - застосовувати координати й вектори до розв'язування планіметричних задач і задач практичного зміcтy
Геометричні перетворення	- основні види та зміст геометричних перетворень на площині (рух, симетрію відносно точки та відносно прямої, поворот, паралельне перенесення, перетворення подібності, гомотетію); - ознаки подібності трикутників; - відношення площ подібних фігур	- використовувати властивості основних видів геометричних перетворень, ознаки подібності трикутників до розв'язування планіметричних задач і задач практичного зміcтy
	Розділ: СТЕРЕОМЕТРIЯ
Прямі та площини у просторі	- аксіоми та теореми cтepeoмeтpiї; - взаємне розміщення прямих у просторі, прямої та площини у просторі, площин у просторі; - ознаки паралельності прямих, прямої та площини, площин; - паралельне проектування; - ознаки перпендикулярності прямої та площини, двох площин; - проекцію похилої на площину, ортогональну проекцію; - пряму та обернену теореми про три перпендикуляри; - відстань від точки до площини, від точки до прямої, від прямої до паралельної їй площини, між паралельними прямими, між паралельними площинами, між мимобіжними прямими; - ознаку мимобіжності прямих; - кут між прямими, прямою та площиною, площинами	- застосовувати означення, ознаки та властивості паралельних і перпендикулярних прямих і площин до розв'язування стереометричних задач та задач практичного змісту; - знаходити зазначені відстані та величини кутів у просторі
Многогранники, тіла й поверхні обертання	- двогранний кут, лінійний кут двогранного кута; - многогранники та їхні елементи, основні види многогранників: призму, паралелепіпед, піраміду, зрізану піраміду; - тіла й поверхні обертання та їхні елементи, основні види тіл і поверхонь обертання: циліндр, конус, зрізаний конус, кулю, сферу; - перерізи многогранників та тіл обертання площиною; - комбінації геометричних тіл; - формули для обчислення площ поверхонь, об’ємів многогранників i тіл обертання	- розв'язувати задачі на обчислення площ поверхонь та об’ємів геометричних тіл; - встановлювати за розгорткою поверхні вид геометричного тіла; - застосовувати означення та властивості основних видів многогранників, тіл і поверхонь обертання до розв'язування стереометричних задач і задач практичного змісту
Координати та вектори у просторі	- прямокутну систему координат у просторі, координати точки; - формулу для обчислення вiдстанi між двома точками та формулу для обчислення координат середини відрізка; - поняття вектора, довжину вектора, колiнеарнi вектори, рiвні вектори, координати вектора; - додавання, віднімання векторів, множення вектора на число; - скалярний добуток векторів та його властивості; - формулу для знаходження кута між векторами, що задані координатами; - умови колінеарності та перпендикулярності векторів, що задані координатами	- знаходити координати середини відрізка та відстань між двома точками; - виконувати дії з векторами; - знаходити скалярний добуток векторів; - застосовувати координати та вектори до розв'язування стереометричних задач і задач практичного зміcтy

Голова робочої групи: Безущак О.О.

Члени робочої групи: Бурда М.І.

Вишенська І.Я.

Захарійченко Ю.О.

Кудренко Б.В.

Кушнір Ю.А.

Паньков А.В.

Репета В.К.

Циган М.З.

Яценко С.Є.

Комплексные числа для чайников

Мы познакомимся с понятием комплексного числа, рассмотрим алгебраическую, тригонометрическую и показательную форму комплексного числа. А также научимся выполнять действия с комплексными числами: сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень и извлечение корня. Не беспокойтесь, я вас напугал, я вас и рассмешу. Для освоения комплексных чисел достаточно уметь выполнять основные алгебраические действия с «обычными» числами, и немного знать тригонометрию.

План

1) Понятие комплексного числа.
2) Алгебраическая форма комплексного числа. Сложение, вычитание, умножение и деление комплексных чисел.
3) Тригонометрическая и показательная форма комплексного числа.
4) Возведение комплексных чисел в степень.
5) Извлечение корней из комплексных чисел. Квадратное уравнение с комплексными корнями.

Сначала вспомним «обычные» школьные числа. В математике они называются множеством действительных чисел и обозначаются буквой (в литературе, рукописях заглавную букву «эр» пишут жирной либо утолщённой). Все действительные числа изображаются на числовой прямой:

Компания действительных чисел очень пёстрая – здесь и целые числа, и дроби, и иррациональные числа. При этом каждой точке числовой обязательно соответствует некоторое действительное число.

Понятие комплексного числа

Прежде чем, мы перейдем к рассмотрению комплексных чисел, дам важный совет: не пытайтесь представить комплексное число «в жизни» – это всё равно, что пытаться представить четвертое измерение в нашем трехмерном пространстве. Если хотите, комплексное число – это двумерное число.

Комплексным числом называется число вида , где и – действительные числа, – так называемая мнимая единица. Число называется действительной частью () комплексного числа , число называется мнимой частью () комплексного числа .

– это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение. Действительную и мнимую части комплексного числа, в принципе, можно переставить местами: или переставить мнимую единицу: – от этого комплексное число не изменится. Но стандартно комплексное число принято записывать именно в таком порядке:

Чтобы всё было понятнее, сразу приведем геометрическую интерпретацию. Комплексные числа изображаются на комплексной плоскости:

Как упоминалось выше, буквой принято обозначать множество действительных чисел. Множество же комплексных чисел принято обозначать «жирной» или утолщенной буквой . Поэтому на чертеже следует поставить букву , обозначая тот факт, что у нас комплексная плоскость.

Комплексная плоскость состоит из двух осей: – действительная ось, – мнимая ось

Правила оформления чертежа практически такие же, как и для чертежа в декартовой системе. По осям нужно задать размерность, отмечаем: ноль; единицу по действительной оси; мнимую единицу по мнимой оси.

Построим на комплексной плоскости следующие комплексные числа (см. стр 3):

, ,
, ,
, , ,

По какому принципу отмечены числа на комплексной плоскости, думаю, очевидно – комплексные числа отмечают точно так же, как мы отмечали точки еще в 5-6 классе на уроках геометрии.

Рассмотрим следующие комплексные числа: , , . Вы скажете, да это же обыкновенные действительные числа! И будете почти правы. Действительные числа – это частный случай комплексных чисел. Действительная ось обозначает в точности множество действительных чисел , то есть на оси сидят все наши «обычные» числа. Более строго утверждение можно сформулировать так: Множество действительных чисел является подмножеством множества комплексных чисел .

Числа , , – это комплексные числа с нулевой мнимой частью. Числа , , – это, наоборот, чисто мнимые числа, т.е. числа с нулевой действительной частью. Они располагаются строго на мнимой оси .

 

 

В числах , , , и действительная и мнимая части не равны нулю. Такие числа тоже обозначаются точками на комплексной плоскости, при этом, к ним принято проводить радиус-векторы из начала координат (обозначены красным цветом на чертеже). Радиус-векторы к числам, которые располагаются на осях, обычно не чертят, потому-что они сливаются с осями.