Проверка гипотез.

При проверке гипотез подвергается испытанию некоторая гипотеза H₀ в сравнении с одной или большим числом альтернативных гипотез H₁, H₂,....

Пусть известна плотность распределения вероятности для оценки (несмещённой). Как сильно должна отличаться величина от , предполагаемого истинного значения , чтобы эта гипотеза была отвергнута?

 

Если гипотеза верна, то .

.

В силу симметрии

.

a - уровень значимости. a << 1

a=0,05; 0,01 и т.д.

 

Таким образом при гипотеза принимается.

При - гипотеза отвергается.

 

Простейший случай, когда проверяются две гипотезы:

1. Н₀: х – истинное значение случайной величины (нулевая гипотеза)

2. Н₁: х – не является истинным значением (альтернативная гипотеза)

Пусть проверяются гипотезы о значении параметра распределения вероятностей/

H₀:

H₁:

 

Решение принимается следующим образом: считая, что нулевая гипотеза верна, вычисляют статистику по экспериментальной выборке и проверяют, попадает ли вычисленное значение в область принятия гипотезы.

Если – нет, то гипотеза Н₀ отвергается, принимается гипотеза Н₁

Если – да, то принимается гипотеза Н₀.

 

 

Ошибки при проверке гипотез:

Ошибка первого рода: гипотеза верна, но отвергается.

Ошибка второго рода: гипотеза не верна, но принимается.

 

Ошибка первого рода связана с тем, что .

Уменьшить её можно уменьшая .

Ошибка второго рода связана с вероятностью принятия гипотезы Н₀, тогда как на самом деле имело место гипотеза Н₁.

 

 

 

 

Вероятность - вероятность не обнаружить разницу, когда она существует.

Вероятность называется мощностью критерия и определяет вероятность принятия решения Н₀, когда гипотеза является ложной. С увеличением , уменьшается, а возрастает.

Уменьшение ошибки первого рода ведёт к увеличению ошибки второго рода и наоборот при заданном объёме выборки.

 

Единственный способ уменьшить одновременно обе ошибки – увеличение объёма выборки.

 

Пример: проверка гипотезы относительно среднего.

Пусть некоторая случайная переменная процесса Х имеет среднее значение . Для выборки объёма получено и ().

Проверяем гипотезу Н₀: случайная переменная имеет прежнее среднее .

Альтернативная гипотеза: Н₁ . Пусть уровень значимости .

Для двустороннего критерия t гипотеза Н₀ принимается, если .

В противном случае принимается Н₁.

для степеней свободы и равно 2,306

Принимается Н₀.

Для одностороннего критерия (если бы проверяли гипотезу ) следовало бы взять

. 0,30<0,31

Гипотезу Н₀: следовало бы отвергнуть!

 

предполагается известным.

Среднее по ансамблю сравнивается с .

Правила принятия решения приведены в таблице:

 

Гипотезы	Стандартное отклонение G	Используемый критерий	Замечания
	Неизвестно. Используется выборочное (S2) ------------------------ Известно.		Двусторонний критерий t ------------------------ Двусторонний критерий U
	Неизвестно.   Известно.		Односторонний t.   Односторонний U.
	Неизвестно.   Известно.		Односторонний t.   Односторонний U.

 

Пример: Проверка гипотезы относительно среднего.

Калибровка термометров сопротивления. Стандартный термометр показывает 1000 мВ.

Показания термометров:

 

 

Можно ли считать отклонения случайными, или на показания термометров воздействовал некий фактор?

Гипотеза: Н₀:

Дисперсия неизвестна.

Используется критерий .

Выбираем . . .

 

6>5.

 

На уровне значимости гипотеза принимается (не отвергается)

 

 

Проверка гипотез относительно средних по ансамблю двух продуктов (двух переменных).

Гипотеза	Стандартн отклонения	Критерий: гипотеза принимается, если неравенство удовлетворяется	Примечание
	оба неизвестны     оба неизвестны   и известны	т.к. 2 случайные величины и , то дисперсия = сумме дисперсии. нормальное распределение	-значение для степ. свободы
	неизвестны     неизвестны     и известны		-значение для степ. свободы

 

Предполагается, что генеральная совокупность имеет нормальное распределение. n_A – число наблюдений из выборки А. n_В – число наблюдений из выборки В. t вычисляется для степеней свободы.

Если вычисляется разность > правой части, то гипотеза принимается, в противном случае отвергается.